Abstract. We prove that if D is a "strongly quasihomogeneous" free divisor in the Stein manifold X, and U is its complement, then the de Rham cohomology of U can be computed as the cohomology of the complex of meromorphic differential forms on X with logarithmic poles along D, with exterior derivative. The class of strongly quasihomogeneous free divisors, introduced here, includes free hyperplane arrangements and the discriminants of stable mappings in Mather's nice dimensions (and in particular the discriminants of Coxeter groups).

We extend to the analytic D-module case our results in the algebraic case (see [3]), namely, we associate with any monogeneous module over the ring D of germs of linear differential operators at the origin of C n , with holomorphic coefficients, a combinatorial object which we call the standard fan of this D-module (see chapter 6 for a precise geometric description of this object). The main tool of the proof is the homogenization techniques and a convergent division theorem that we prove in the homogenization ring D[t].

Abstract. We compute, using D-module restrictions, the slopes of the irregular hypergeometric system associated with a monomial curve. We also study rational solutions and reducibility of such systems.

We prove a duality theorem for some logarithmic D-modules associated with a class of divisors. We also give some results for the locally quasi-homogeneous case.Diviseurs quasi-libres et dualité. On montre un théorème de dualité pour certains D-modules logarithmiques associés à une classe de diviseurs. On donne aussi quelques résultats dans le cas localement quasi-homogène. Version française abrégéeDans [13] Saito a développé la théorie des diviseurs libres dans X = C n . Rappelons qu'un diviseur D ⊂ X est libre si le faisceau des champs de vecteurs logarithmiques relativement à D, noté Der(− log D), est localement libre en tant que faisceau de modules sur O, le faisceau structural de X. D'autre part, une forme méromorphe ω ∈ Ω p ( D) à poles le long de D est dite logarithmique si f ω et df ∧ ω sont formes holomorphes pour une (ou pour toute) équation locale réduite f de D. On définit comme cela un complexe Ω • (log D) des formes logarithmiques par rapport à D et une inclusion i D : Ω • (log D) → Ω • ( D). La classification des diviseurs D tels que i D est un quasi-isomorphisme est un problème ouvert. D'après le théorème de comparaison de Grothendieck les complexes Ω • ( D) et Rj * (C) sont quasi-isomorphes, ici j : X \D → X est l'inclusion ; ainsi, si i D est un quasiisomorphisme on dira simplement que D vérifie le théorème de comparaison logarithmique (ou que D vérifie le TCL). Le résultat central de [6] est que si D ⊂ X est un diviseur libre et localement quasi-homogène alors D vérifie le TCL. Une réciproque de ce résultat est démontrée dans [4] pour la dimension 2.

The division algorithm for ideals of algebraic power series satisfying Hironaka's box condition is shown to be finite when expressed suitably in terms of the defining polynomial codes of the series. In particular, the codes of the reduced standard basis of the ideal can be constructed effectively.