Reduction of the elliptic SL(N,\mathbb C) top

Abstract

We propose a relation between the elliptic SL(N, C) top and Toda systems and obtain a new class of integrable systems in a specific limit of the elliptic SL(N, C) top. The relation is based on the Inozemtsev limit (IL) and a symplectic map from the elliptic Calogero-Moser system to the elliptic SL(N, C) top. In the case when N = 2 we use an explicit form of a symplectic map from the phase space of the elliptic Calogero-Moser system to the phase space of the elliptic SL(2, C) top and show that the limiting tops are equivalent to the Toda chains. In the case when N > 2 we generalize the above procedure using only the limiting behavior of Lax matrices. In a specific limit we also obtain a more general class of systems and prove the integrability in the Liouville sense of a certain subclass of these systems. This class is described by a classical r-matrix obtained from an elliptic r-matrix.

Предельная связь цепочек Тоды с эллиптическим $SL(N,\mathbb C)$-волчком

“…Перенормированные координаты (10) образуют ту же алгебру (9), что и в периоди-ческом случае, однако симплектический лист определяется другим выражением: Формулы бозонизации (10) преобразуют предельный волчок в непериодическую цепочку Тоды [1].…”

“…Перенормиро-ванные координаты образуют в пределе алгебру Ли относительно скобок Пуассо-на [1]. Предельные матрицы Лакса и гамильтониан…”

“…Поэтому га-мильтоновы уравнения движения для этих переменных не описываются уравне-нием (11). Однако на симплектическом листе общего положения эти переменные являются функциями от переменных, входящих в матрицу Лакса [1].…”

“…Для этого удобно перейти к стандартному базису c помощью формулы (П.2). В стан-дартном базисе формулы бозонизации для перенормированных координат S ij имеют вид [1] …”

“…Настоящая статья является продолжением работы [1], где рассмотрен случай ав-тономного SL(N, C)-волчка. В статье рассматриваются четыре интегрируемые си-стемы, уравнения движения которых имеют представление Лакса со спектральным параметром [2]- [4]: периодическая и непериодическая цепочки Тоды, эллиптиче-ская модель Калоджеро-Мозера и эллиптический SL(N, C)-волчок.…”