Repeated eigenvalues of a matrix with elements polynomially dependent on a parameter

Abstract

Е. А. Калинина КРАТНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА МАТРИЦЫ С ЭЛЕМЕНТАМИ, ПОЛИНОМИАЛЬНО ЗАВИСЯЩИМИ ОТ ПАРАМЕТРАСанкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7-9 Матрицы, имеющие кратные собственные числа, рассматривались ранее в основном с теоретической точки зрения. Однако в последнее время такие вырожденные матрицы представляют и практический интерес, поскольку они возникают в задачах квантовой ме-ханики, ядерной физики, оптики, динамики механических систем. В данной работе рас-сматривается квадратная матрица, элементы которой суть линейные функции парамет-ра. Предлагается метод, позволяющий за конечное число алгебраических операций над элементами матрицы построить полином, корни которого -значения параметра, соот-ветствующие кратным собственным числам матрицы. Имеется возможность обобщения предложенного метода для матриц, элементы которых являются полиномами от парамет-ра степени выше первой. Приводится численный пример, иллюстрирующий работу этого метода. Библиогр. 16 назв.Ключевые слова: кронекеровское произведение, метод Леверье, суммы Ньютона. Е. А. Kalinina REPEATED EIGENVALUES OF A MATRIX WITH ELEMENTS POLYNOMIALLY DEPENDENT ON A PARAMETERSt. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation Earlier matrices with multiple eigenvalues were considered only for theoretical purposes. However, now such non-generic matrices are also of practical interest because they appear in different problems of quantum mechanics, nuclear physics, optics and dynamic of mechanical systems. A square matrix with elements that are linearly dependent on a parameter is considered in this paper. A method to find the values of the parameter such that the matrix has a repeated eigenvalue is considered. We find the polynomial whose roots are these values of the parameter using only finite number of algebraic operations on the matrix elements. The method can be generalized to matrices with elements algebraically dependent on a parameter. A numerical example of how to find the required parameter values is considered. Refs 16.

Sequential Linear Interpolation Correction Methods Used for Finding Zeros of Functions and Characteristic Polynomials of Matrices of a Special Form

“…Допустим же, что в процессе деления «спектра» корней (локализации корней) имеем корень кратно-сти m. Для кратных корней предлагается использо-вать схемы, подобные схемам (9). Для корня кратно-сти m верно соотношение …”