Research of Queueing Systems With Shifted Erlangian and Exponential Input Distributions

Abstract

д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой программного обеспечения и управления в технических системах Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, Россия. Бахарева Н. Ф.-д-р техн. наук, профессор, заведующая кафедрой информатики и вычислительной техники Поволжского государственного университета телекоммуникаций и информатики, Россия. АННОТАЦИЯ Актуальность. В теории массового обслуживания исследования систем G/G/1 особо актуальны в связи с тем, что до сих пор не существует решения в конечном виде в общем случае. Рассмотрена задача вывода решения для среднего времени ожидания в очереди в замкнутой форме для обычных систем с эрланговскими и экспоненциальными входными распределениями и для этих же систем со сдвинутыми вправо распределениями. Цель работы. Получение решения для основной характеристики системы-среднего времени ожидания требований в очереди для трех видов систем массового обслуживания типа G/G/1 с обычными и со сдвинутыми эрланговскими и экспоненциальными входными распределениями. Метод. Для решения поставленной задачи использован классический метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли, который позволяет получить решение для среднего времени ожидания для рассматриваемых систем в замкнутой форме. Метод спектрального разложения решения интегрального уравнения Линдли играет важную роль в теории систем G/G/1. Для практического применения полученных результатов использован известный метод моментов теории вероятностей. Результаты. Впервые получены спектральные разложения решения интегрального уравнения Линдли для трех видов систем, с помощью которых выведены расчетные выражения для среднего времени ожидания в очереди для вышеуказанных систем в замкнутой форме. Выводы. Введение параметра сдвига во времени в законы распределения входного потока и времени обслуживания для рассматриваемых систем, преобразует их в системы запаздыванием с меньшим временем ожидания. Это связано с тем, что операция сдвига во времени уменьшает величину коэффициентов вариаций интервалов между поступлениями требований и их времени обслуживания, а как известно из теории массового обслуживания, среднее время ожидания требований связано с этими коэффициентами вариаций квадратичной зависимостью. Если система с эрланговскими входными распределениями второго порядка работает только при одном определенном точечном значении коэффициентов вариаций интервалов между поступлениями требований и их времени обслуживания, то эта же система со сдвинутыми распределениями позволяет оперировать с интервальными значениями коэффициентов вариаций, что расширяет область применения этих систем. Аналогично обстоит дело и со сдвинутыми экспоненциальными распределениями. Кроме того, сдвинутое экспоненциальное распределение содержит два параметра и позволяет аппроксимировать произвольные законы распределения с использованием двух первых моментов. Такой подход позволяет рассчитать среднее время ожидания для указанных систем в математических пакетах для широкого диапазона изменения параметров трафика. Все ...

Model of Teletraffic Based on Queueing Systems E2/He2/1 With Ordinary and Shifted Input Distributions

“…Here, the exponential functions due to the opposite signs of the exponents are zeroed out and thus the shift operation is leveled. We thereby obtained the same expression (5). Further decomposition of the last expression will lead to the form (6), as was done for the system E 2 /HE 2 /1.…”

“…The solution for the average waiting time for the E 2 /HE 2 /1 system will be built based on the classical method of spectral decomposition of the solution of LIE, as shown in [2][3][4][5][6][7]. This approach allows us to determine not only the average waiting time, but also moments of higher orders of waiting time.…”

“…, , ,     (or two real negative roots and two complexly conjugate with negative real parts) and one positive root 5  . The study of the sign of the lower coefficient 0 d shows that it is always in the case of a stable system when 0 1    .…”

“…In [2], for the first time, the results of an analysis of QS M/M/1 with shifted exponential distributions are presented. Article [3] presents the author's results on systems with shifted hyperexponential and exponential distributions, in [4] -for the system with shifted hypererlangian distributions, in [5] -for the systems with shifted erlangian and exponential distributions, in [6] for the systems with shifted hypererlangian and exponential distributions.…”