Resonances for homoclinic trapped sets

Abstract

We study semiclassical resonances generated by homoclinic trapped sets. First, under some general assumptions, we prove that there is no resonance in a region below the real axis. Then, we obtain a quantization rule and the asymptotic expansion of the resonances when there is a finite number of homoclinic trajectories. The same kind of results is proved for homoclinic sets of maximal dimension. Next, we generalize to the case of homoclinic/heteroclinic trajectories and we study the three bump case. In all these settings, the resonances may either accumulate on curves or form clouds. We also describe the corresponding resonant states.

Propagation des singularités et résonances

“…Les notions introduites ci-dessus sont reliées par le résultat suivant. L'implication (ii)⇒(i) a déjà été prouvée dans [2]. Elle s'est révélée un argument clé pour le calcul asymptotique des résonances dans diverses situations géométriques (cf.…”

“…Elle s'est révélée un argument clé pour le calcul asymptotique des résonances dans diverses situations géométriques (cf. [1,2]). La réciproque est démontrée dans la section suivante.…”

“…Dans [1] et [2], on a donné l'asymptotique des résonances dans le cas d'un point fixe hyperbolique et des trajectoires homoclines/hétéroclines. Pour ce faire, on a d'abord obtenu des zones sans résonances grâce à l'implication (ii)⇒(i) du théorème 1.…”

“…L'implication (ii)⇒(i) a été démontrée dans la section 8 de [2]. Dans cet article, on supposait | Im z| h, mais la preuve s'étend sans modification au cas | Im z| h| ln h|.…”

“…Ce genre d'estimation correspond donc à l'absence de pseudospectre semiclassique polynomial pour l'opérateur non-autoadjoint P θ . Les remarques précédentes découlent de la proposition D.1 de [2] étendue au cas | Im z| h| ln h|. [6,Appendix]).…”