Restriction Respectueuse Et Reconstruction Des Chaines Et Des Relations Infinites

Abstract

We show a faithful restriction theorem among infinite chains which implies a reconstructibility conjecture of Halin. This incite us to study the reconstructibility in the sense of FraissC and to prove it for orders of cardinality infinite or 2 3 and for multirelations of cardinality infinite or 2 7, what improves the theory obtained by G. Lopez in the finite case. For this work we had to study the infinite classes of difference which have to be a linear order of type w , w* or W * + w ; this complete the theory made by G. Lopez for the finite case ([Is]). We show also Ulam-reconstructibility for linear orders which have a fixed point. MSC: 05C60, 04A05, 06A05. ')Je reinercie GERARD LOPEZ d'avoir vCrifiC une gande partie du 57 et de s'8tre nioiitrC pour le nioins sceptique devant u i e preinikre rCdactioii particulikreiiieiit douteuse du 58. 458 J . G. HACENDORF une propridti d'Ularn-reconstructibilitd des chaines ayant au rnoins un point fixe. Le cas des relations ternaires infinies est inexplord. Je n'ai pas rdussi B dtendre aux relations ternaires infimies les "rubans" de POUZET [16] qui sont des relations ternaires finis non reconstructibles de cardinal arbitrairement grand. $1. Restriction respectueuse des chaines Nous rnontrons un thdorbme de restriction multiplernent respectueuse analogue au thdorbme d'extension respectueuse (voir [5], thdorkme 4.5.' ou [9], thdorbme 3.2, ou [17], thdorkme 10.11) que nous rappelons: Si une chaine infinie se plonge dans toute chaine eztension stricte d'une chaine C, elle se plonge dijjd dans C. Nous utilisons les notations classiques pour lesquelles nous renvoyons B l'ouvrage de R. FRAissE [5] ou B celui de J. ROSEN-STEIN [17]. Nous notons "5" le plongement entre relations (qui est un prdordre) et appelons Cquitnorphie la relation d'dquivalence associde qui sera notde "3" , alors que l'ordre strict correspondant sera not6 "<": A < B si et seulernent si A 5 B et A f B. La base d'une relation R (i.e. l'ensernble suus-jacent) est not6 IRI. Une restriction propre d'une relation R est une restriction dont la base est diffdrente de la base de R. IJne restriction stricte d'une relation R est une restriction qui se plonge strictement dans R au sens de I'ordre strict < introduit plus haut. Idem pour les extensions propres ou strictes. Une chaine est par definition un ordre total. Soit b un dihment d'une chaine A on notera [A, 61 l'ensernble { z I z E A et z 5 b } et la restriction de A B cet ensemble, qui en principe devrait 2tre notde A I [ A , I ] , sera aussi notde le plus souvent [A, b]; dkfinition analogue pour [A, b[ etc. On appelle inlerualle tout ensemble clos pour la relation "entre". On appelle segment fernit un intervalle de la forrne [a, b ] . Nous appelons coupure 7 d'une chaine A tout couple (I, J) tel que A = I -t J (on notera C ( A ) I'ensemble ordonnd des coupures de A); I sera encore not6 [A, 7 [ et J sera noti 17, A] ou encore respectivement ] c , 7 [ n et 17, -+ [ A , ou plus sirnplernent ] +,y[ et 17,-[ si aucune confusion n'est a redouter. On designera par [ A ,...

Prime Orders All of Whose Prime Suborders Are Selfdual

“…Theorem 6 [7] Two f inite orders P and P on the same set V are isomorphic provided that for every subset X of V such that |X| ∈ {2, 3}, the suborders P(X) and P (X) are isomorphic.…”

Description of the \((\leq 3)\)-hypomorphic Posets and Bichains. Application to the \((\leq 3)\)-reconstruction

“…This work was extended to the infinite case by J.G. Hagendorf in [4]. These works make essential use of difference classes introduced by Lopez [2,3].…”

“…For the (≤ 3)-reconstruction, Boudabbous and Lopez [8] characterized the finite binary relations that are (≤ 3)-reconstructible. Hagendorf [4] proved that every finite poset with at least 4 vertices is (≤ 3)-reconstructible. In [9] Boudabbous and Delhommé suggested the question about the characterization of the (≤ 3)-reconstruction of posets and bichains.…”

Classes de (&#8804; 3,&#969;,&#969;*,&#937;, &#937;&#8727;)-hypomorphie infinies

“…la plus grande), apparaîtrait ω+1 dans la classe, ce qui est interdit. Le cas où la composante est la dernière se traite directement avec facilité.La réciproque est immédiate grâceà la technique de la guirlande ([20] p482-483 ): on appelle guirlande la donnée de R et du graphe de différence S de deux relations R et R' qui sont (≤3,ω,ω*,Ω,Ω*)-hypomorphes de type ω, ω* ou ω*+ω, dont la base n'est formée que d'une seule (R,R')-classe de différence. Une classe de (≤3,ω,ω*,Ω,Ω*)-hypomorphie peuvent effectivementêtre de type ω ou ω* ou ω*+ω.…”

“…Une classe de (≤3,ω,ω*,Ω,Ω*)-hypomorphie peuvent effectivementêtre de type ω ou ω* ou ω*+ω. L'exemple extrait de[20] (p482-483),…”