We show a faithful restriction theorem among infinite chains which implies a reconstructibility conjecture of Halin. This incite us to study the reconstructibility in the sense of FraissC and to prove it for orders of cardinality infinite or 2 3 and for multirelations of cardinality infinite or 2 7, what improves the theory obtained by G. Lopez in the finite case. For this work we had to study the infinite classes of difference which have to be a linear order of type w , w* or W * + w ; this complete the theory made by G. Lopez for the finite case ([Is]). We show also Ulam-reconstructibility for linear orders which have a fixed point. MSC: 05C60, 04A05, 06A05. ')Je reinercie GERARD LOPEZ d'avoir vCrifiC une gande partie du 57 et de s'8tre nioiitrC pour le nioins sceptique devant u i e preinikre rCdactioii particulikreiiieiit douteuse du 58. 458 J . G. HACENDORF une propridti d'Ularn-reconstructibilitd des chaines ayant au rnoins un point fixe. Le cas des relations ternaires infinies est inexplord. Je n'ai pas rdussi B dtendre aux relations ternaires infimies les "rubans" de POUZET [16] qui sont des relations ternaires finis non reconstructibles de cardinal arbitrairement grand. $1. Restriction respectueuse des chaines Nous rnontrons un thdorbme de restriction multiplernent respectueuse analogue au thdorbme d'extension respectueuse (voir [5], thdorkme 4.5.' ou [9], thdorbme 3.2, ou [17], thdorkme 10.11) que nous rappelons: Si une chaine infinie se plonge dans toute chaine eztension stricte d'une chaine C, elle se plonge dijjd dans C. Nous utilisons les notations classiques pour lesquelles nous renvoyons B l'ouvrage de R. FRAissE [5] ou B celui de J. ROSEN-STEIN [17]. Nous notons "5" le plongement entre relations (qui est un prdordre) et appelons Cquitnorphie la relation d'dquivalence associde qui sera notde "3" , alors que l'ordre strict correspondant sera not6 "<": A < B si et seulernent si A 5 B et A f B. La base d'une relation R (i.e. l'ensernble suus-jacent) est not6 IRI. Une restriction propre d'une relation R est une restriction dont la base est diffdrente de la base de R. IJne restriction stricte d'une relation R est une restriction qui se plonge strictement dans R au sens de I'ordre strict < introduit plus haut. Idem pour les extensions propres ou strictes. Une chaine est par definition un ordre total. Soit b un dihment d'une chaine A on notera [A, 61 l'ensernble { z I z E A et z 5 b } et la restriction de A B cet ensemble, qui en principe devrait 2tre notde A I [ A , I ] , sera aussi notde le plus souvent [A, b]; dkfinition analogue pour [A, b[ etc. On appelle inlerualle tout ensemble clos pour la relation "entre". On appelle segment fernit un intervalle de la forrne [a, b ] . Nous appelons coupure 7 d'une chaine A tout couple (I, J) tel que A = I -t J (on notera C ( A ) I'ensemble ordonnd des coupures de A); I sera encore not6 [A, 7 [ et J sera noti 17, A] ou encore respectivement ] c , 7 [ n et 17, -+ [ A , ou plus sirnplernent ] +,y[ et 17,-[ si aucune confusion n'est a redouter. On designera par [ A ,...

G. Lopez a démontré la (≤6)-reconstructibilité des relations binaires finies (1972) (voir [1] et [2]) résolvant ainsi un problème de Roland Fraïssé (voir[3]). Sa preuve repose sur la notion de classe de différence. Depuis, la notion de classe de différence est un outil majeur dans bien des travaux en reconstruction et demi-reconstruction notamment en [4], [5] et [6] et permet de définir la notion de classe d'hypomorphie. La caractérisation des classes de (≤k)-hypomorphie finies, pour k≥6, aété obtenue par Hagendorf et Lopez en 1994 (voir [4]). La caractérisation des classes de (≤4)-hypomorphie finies aété obtenue par G. Lopez et C. Rauzy (1992) (voir [6]). Ensuite, celle des classes de (≤5)-hypomorphie finies aété trouvée par Y. Boudabbous (2000) (voir [7]). Dans cet article nous obtenons une caractérisation, par interdits, des classes de (≤3)-hypomorphie finies, puis infinies dans un prochain article. Ces deux articles sont résumés en [8]. La reconstruction infinie aété en particulierétudiée en [4], [9] et [11]. D'autres utilisations des classes de différence ou des liens avec elles se trouvent par exemple dans [12]à [21].

IntroductionKous traiterons ici, L propos de chaines, d'un problhme de FRAISS~ [2], le problkme general d'extension respectueuse: si des (cobjets)) A , ne se ccplongento pas dans des (cobjets)) B, existe-t-il une textension)) des B, dam laquelle les A , ne se plongent toujours pas? MALITZ [7] donne un contre-exemple b un problhme de ce type sur les relations; LOPEZ [6] y apporte une am6lioration. Ce probkme peut 6tre rapproch6 des problhmes peu repandus de succession de cardinaux poses par T-4RSKI [Sj & propos du plongement entre ensembles. Nous apportons dans le cas des chaines une reformulation correcte du problhme g6n6ral d'extension respectueuse car, pris au pied de la lettre, il se r6solvait nkgativement, mais chacun s'accordait L penser que les contreexemples obtenus cachaient une realit6 plus profonde. L'approfondissement que nous donnons se traduit par une simplification conceptuelle : on Btudie une proprietk analogue ZL la moiti6 superieure du critkre de distributivitb de BIRKHOFF [l] dans un treillis. Nous appelons cette propribte ((ultra-distributivite )), et le problhme revient b savoir si la classe des chaines est ultra-distributive. Nous am6liorons ce point de vue en 6tendant le problhme it l'existence d'un ensemble minimum (de chaines) ayant un ensemble d'extensions donne. Les principaux theorhmes prouvent cette existence sous certaines liypothhses dont nous conjecturons l'inutilitb. Les problhmes B l'origine de ce travail sont les suivants: 1" Le problkme de I'extension respectueuse simple pose en 1965 par FRAISSB: Une chaine infinie qui se plonge dans toute extension stricte d'une chaine A se plonge-t-elle dam A? JULLIEN [4] donne L ce problhme une solution fragmentaire dans le cas des chaines dispersees, en utilisant le resultat de LAVEH. [5] stipulant que celles-ci sont finiment insecables. Mais sa m6thode n'est pas gknkralisable. Nous r6solvons positivement ce problkme. 2" Le problhme de l'inexistence d'un suprCmum (pour l'ordre du plongement) i . deux chaines incomparables (pose en 1972 par S a s s l c~) . Ce problkme nous a conduit iL la notion de surdistributivite qui am6liore leh idCes prbcedentes et permet d'enoncer correctement la g6n6ralisation du probkme lo au cas de plusieurs chaines A . Nous disons qu'une chaine S est surdistribuable si pour toute chaine A et E , l'ensemble des extensions de E et A ne peut Btre le m&me (A l'isoniorphie p r k ) que celui cles extensions de E et S, que dans les cas triviaux: A et S se plongent dans E. ou A et S se plongent l'un dans l'autre. la relation de plongement. d &ant un ensemble de chalnes, notons Maj(d) l'ensemble (a l'isomorphie pr&) des extensions de x i ' c'est-&-dire des chaines Notons 1.2. N o t a t i o n s . Duns toute la suite les majuscules latines ( A , B , R, . . .) dBsigneront des objets, les majuscules rondes (d, 9?, 9, . . .) des ensembles d'objets. Soit d = { A , } , € [ et B = {B,}JEJ deux ensembles d'objets. Appelons m j o r a n t s ou (encore extemions) de d les objets majorant b la fois tous les A de d ; de m6me pour majorant...

Cet article se veut une suiteà [23] puisque après l'étude des classes de (≤3)-hypomorphieà laquelle est consacrée [23] nous allonsétudier les classes d'hypomorphie infinies avec des conditions d'hypomorphie infinie. Nous y utiliserons aussi la notion de pavages mais ceux-ci seront différents de ceux de [23] car la problématique n'est plus la même. Au passage nous décrirons les classes de (≤3,4/2)-hypomorphie. Voir la bibliographie pour d'autresétudes en rapport avec l'hypomorphie infinie ou finie ou avec la problématique de la reconstruction qui y est liée.Classification AMS : 05C60.

No abstract