IWe prove that any binary relation with underlying set (base) E with cardinality n > 6 is reconstructible from its restrictions of cardinality 2. 3,4 and ( n -1). In part I we characterize relations R and R' on the same base E such that R / X and R'/X arc isomorphic for every subset X of E with cardinality 2, 3,4. In part I1 we shall prove that R and R' arc isomorphic as soon as n > 6 when R/X and R/X' arc isomorphic for every subset X of E with cardinality 2. 3, 4 and ( n -1). MSC: 04A05

Let V be a set of cardinality v (possibly infinite). Two graphs G and G with vertex set V are isomorphic up to complementation if G is isomorphic to G or to the complement G of G. Let k be a nonnegative integer, G and G are k-hypomorphic up to complementation if for every k-element subset K of V , the induced subgraphs G K and G K are isomorphic up to complementation. A graph G is kreconstructible up to complementation if every graph G which is k-hypomorphic to G up to complementation is in fact isomorphic to G up to complementation. We give a partial characterisation of the set S of ordered pairs (n, k) such that two graphs G and G on the same set of n vertices are equal up to complementation whenever they are k-hypomorphic up to complementation. We prove in particular that S contains all ordered pairs (n, k) such that 4 k n − 4. We also prove that 4 is the least integer k such that every graph G having a large number n of vertices is k-reconstructible up to complementation; this answers a question raised by P. Ille [P. Ille, Personal communication, September 2000].

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This paper deals with pairs of binary relations defined on the same finite basis and which the %element restrictions are isomorphic and those of 5-element restrictions are isomorphic or anti-isomorphic. To each of these pairs, we associate an equivalence relation which yields a decomposition of these relations into classes that we will characterize. As application, we get the treshold of half-reconstruction for tournaments. MathematicsSubject Classification: 03C60, 04A05, 06A05. Le diamant positif, not6 6+, est un tournoi de base { a , b,c, d } , prenant l a valeur + sur les seuls couples (a, b), ( b , c ) , (c, a), et (z, d ) avec z = a , b, c; le diamant nigatif, not6 6-, est le converse de 6+ (voir Figure 1). Les tournois 6+ and 6sont anti-isomorphes et non isomorphes. Rappelons que les tournois qui ne contiennent pas ces deux diamants, ont ktC caractdrisds en [3] et [7]. ~ ')Nous adressons nos vifs remerciements B JEAN GUILLAUME HAGENDORF, pour ses remarques et de R sont dites des conditions d'hypomorphie. J . G. HAGENDORF a introduit le probltme de la demi-reconstruction en affaiblissant l'hypothtse sur les restrictions: celles-ci ne sont connues qu'b un isomorphisme ou anti-isomorphisme prks. Ces dernitres conditions sont dites des conditions d 'he'mimorphie.Deux relations binaires R et R' de base commune E de cardinal n sont dites khypomorphes (resp. k-he'mimorphes) lorsque pour toute partie X de E de cardinal k, les restrictions R I X et R' I X sont isomorphes (resp. isomorphes ou anti-isomorphes). Dkfinition analogue lorsque card(X) 5 k, on remplace alors le prCfixe "lc-" par "5 k-" d a m les notations. 1.3 Rappelons les deux rksultats suivants: T h k o r b m e d e r e c o n s t r u c t i o n (G. LOPEZ [S]). Si R et R' sont deux relaiions ( 5 6)-hypomorphes, alors R et R' sont isomorphes. T h k o r t m e d e d e m i -r e c o n s t r u c t i o n (J. G. HAGENDORF et G. LOPEZ [4]). Si R et R' son2 deux relations ( 5 12)-he'mimorphes, alors R et R' son2 isomorphes ou anti-isomorphes.La preuve du thkor6me de demi-reconstruction, consiste en fait B montrer que: La ( 5 12)-he'rnimorphie entre deux relations R et R' entraine la ( 5 6)-hypomor-C'est ce rksultat qui a motive notre ktude du lien entre hypomorphie et hkmimorphie.Rappelons kgalement que la ( 5 4)-hypomorphie entre deux relations permet de connaitre la morphologie de la paire de ces deux relations (G. LOPEZ et C. PAUZY [7]).1.4 Nous nous p1ac;ons ici dans l'hypothtse de la ( 5 3)-hypomorphie et la ( 5 5)hkmimorphie. Ces conditions sont independantes, leur conjonction n'entraine pas la ( 5 4)-hypomorphie mais dkcoule de celle-ci (voir 3.). Nous Gtablissons le thkorcme suivant :