La relation différence et l'anti‐isomorphie

Abstract

This paper deals with pairs of binary relations defined on the same finite basis and which the %element restrictions are isomorphic and those of 5-element restrictions are isomorphic or anti-isomorphic. To each of these pairs, we associate an equivalence relation which yields a decomposition of these relations into classes that we will characterize. As application, we get the treshold of half-reconstruction for tournaments. MathematicsSubject Classification: 03C60, 04A05, 06A05. Le diamant positif, not6 6+, est un tournoi de base { a , b,c, d } , prenant l a valeur + sur les seuls couples (a, b), ( b , c ) , (c, a), et (z, d ) avec z = a , b, c; le diamant nigatif, not6 6-, est le converse de 6+ (voir Figure 1). Les tournois 6+ and 6sont anti-isomorphes et non isomorphes. Rappelons que les tournois qui ne contiennent pas ces deux diamants, ont ktC caractdrisds en [3] et [7]. ~ ')Nous adressons nos vifs remerciements B JEAN GUILLAUME HAGENDORF, pour ses remarques et de R sont dites des conditions d'hypomorphie. J . G. HAGENDORF a introduit le probltme de la demi-reconstruction en affaiblissant l'hypothtse sur les restrictions: celles-ci ne sont connues qu'b un isomorphisme ou anti-isomorphisme prks. Ces dernitres conditions sont dites des conditions d 'he'mimorphie.Deux relations binaires R et R' de base commune E de cardinal n sont dites khypomorphes (resp. k-he'mimorphes) lorsque pour toute partie X de E de cardinal k, les restrictions R I X et R' I X sont isomorphes (resp. isomorphes ou anti-isomorphes). Dkfinition analogue lorsque card(X) 5 k, on remplace alors le prCfixe "lc-" par "5 k-" d a m les notations. 1.3 Rappelons les deux rksultats suivants: T h k o r b m e d e r e c o n s t r u c t i o n (G. LOPEZ [S]). Si R et R' sont deux relaiions ( 5 6)-hypomorphes, alors R et R' sont isomorphes. T h k o r t m e d e d e m i -r e c o n s t r u c t i o n (J. G. HAGENDORF et G. LOPEZ [4]). Si R et R' son2 deux relations ( 5 12)-he'mimorphes, alors R et R' son2 isomorphes ou anti-isomorphes.La preuve du thkor6me de demi-reconstruction, consiste en fait B montrer que: La ( 5 12)-he'rnimorphie entre deux relations R et R' entraine la ( 5 6)-hypomor-C'est ce rksultat qui a motive notre ktude du lien entre hypomorphie et hkmimorphie.Rappelons kgalement que la ( 5 4)-hypomorphie entre deux relations permet de connaitre la morphologie de la paire de ces deux relations (G. LOPEZ et C. PAUZY [7]).1.4 Nous nous p1ac;ons ici dans l'hypothtse de la ( 5 3)-hypomorphie et la ( 5 5)hkmimorphie. Ces conditions sont independantes, leur conjonction n'entraine pas la ( 5 4)-hypomorphie mais dkcoule de celle-ci (voir 3.). Nous Gtablissons le thkorcme suivant :

Les tournois (⩽k)-demi-reconstructibles pour k⩽6

“…Concerning the half-reconstructibility problem, Y. Boudabbous and G. Lopez [2] established that the tournaments are ( 7)-half-reconstructible and showed that the value 7 is the best possible. In this Note, we characterize the ( k)-half-reconstructible tournaments for k ∈ {3, 4, 5, 6}.…”

“…Concernant la demi-reconstruction [7], Y. Boudabbous et G. Lopez [2] ont établi la ( 7)-demi-reconstruction des tournois, de plus la valeur 7 est optimale. Dans cette Note, nous caractérisons les tournois ( k)-demi-reconstructibles pour 3 k 6.…”

“…The ( k)-reconstructibility problem for k ∈ {3, 4, 5} was studied in [1,3]. In particular, for k = 3, Y. Boudabbous and G. Lopez [3] showed that a tournament is ( 3)-reconstructible if and only if all its intervals are self-dual.Concerning the half-reconstructibility problem, Y. Boudabbous and G. Lopez [2] established that the tournaments are ( 7)-half-reconstructible and showed that the value 7 is the best possible. In this Note, we characterize the ( k)-half-reconstructible tournaments for k ∈ {3, 4, 5, 6}.…”

La demi-isomorphie et les tournois fortement connexes finis

“…Par analogie avec les problèmes de reconstruction dus à Ulam [11] et à Fraïssé [5], Hagendorf [7] a introduit les problèmes de demi-reconstruction. Boudabbous et Lopez [2] ont établi la {1, . .…”

“…Analogously with the problems of reconstruction ( [5] and [11]), Hagendorf [7] introduced the problems of half-reconstruction. Boudabbous and Lopez [2] established the {1, . .…”