Rhythm synchronization and chaotic modulation of coupled Van der Pol oscillators in a model for the heartbeat

Santos, Ângela Maria dos; Lopes, S. R.; Viana, Ricardo L.

doi:10.1016/j.physa.2004.02.058

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“…Um dos resultados mais notáveis obtidos a partir desse modelo elétrico do coração foi a existência de bloqueios sino-auriculares: o nódulo SA pára temporariamente de emitir impulsos elétricos e depois retornaà atividade normal. O trabalho de Van der Pol e Van der Mark foi o ponto de partida de uma linha de investigação que continua até hoje, o estudo dos ritmos cardíacos (tanto normais como patológicos) por meio de sistemas de osciladores de relaxação acoplados [22,23,25].…”

Section: Van Der Pol E Os Batimentos Cardía-cosunclassified

Oscilações de relaxação e suas aplicações -II

Viana

2011

Rev. Bras. Ensino Fís.

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Oscilações de relaxação são mantidas por uma influência externa constante e apresentam duas escalas de tempo diferentes (lenta e rápida). Num trabalho anterior enfatizamos as diferenças qualitativas entre oscilações pendulares e de relaxação, mostrando alguns exemplos físicos. Neste artigo apresentamos a contribuição pioneira dada a este assunto pelo físico holandês Balthazar Van der Pol, bem como algumas propriedades da equação que leva seu nome, e queé um dos protótipos de sistemas dinâmicos não-lineares. Mostramos aplicações da equação de Van der Pol na física e na biologia. Palavras-chave: oscilações de relaxação, oscilações não-lineares, oscilações auto-sustentadas.Relaxation oscillations are maintained by a constant external influence and present two different timescales (fast and slow). In a previous paper we emphasized the qualitative differences between pendular and relaxation oscillations, showing some physical examples. In this paper we present the pioneering contribution given to this subject by the dutch physicist Balthazar Van der Pol, as well as some properties of the equation bearing his name, and which is one of the prototypes of nonlinear dynamical systems. We show applications of the Van der Pol equation in physics and biology. Keywords: relaxation oscillations, nonlinear oscillations, self-sustained oscillations. IntroduçãoNum trabalho anterior, que será denominado doravante simplesmente por I [1], apresentamos as propriedades básicas das oscilações de relaxação e suas diferenças com as oscilações pendulares, estas mais familiares aos estudantes de física. No entanto, devido ao grande número de aplicações das oscilações de relaxação, em I nós as estudamos por meio de dois exemplos físicos, um sistema mecânico e um circuito elétrico. Para ambos os exemplos observamos que oscilações de relaxação são entretidas por uma influência externa constante, e também apresentam duas escalas de tempo distintas, que denominamos "lenta" e "rápida".No primeiro dos exemplos apresentados em I, o chamado "vaso de Tântalo", um vaso sifonado recebe um fluxo constante d'água proveniente de uma torneira. Enquanto o nível d'água no vaso não atinge a altura máximo do sifão, o vaso vai sendo preenchido e o nível d'água cresce de forma linear (escala "lenta"). Depois que aágua atinge a altura máxima do sifão, este começa a escorvar o vaso rapidamente em relação ao preenchimento (escala "lenta") [2]. Depois que o nível d'água no vaso atinge a altura da "boca" (extremidade livre) do sifão, o escorvamentoé interrompido e o vaso recomeça a ser preenchido, num processo oscilatório onde o período pode ser variado de forma relativamente fácil (por exemplo, alterando a vazão com que aágua escorre da torneira).Já a amplitude no vaso de Tântalo nãoé tão fácil de ser alterada, pois demandaria mudar a altura máxima do sifão e/ou a posição da sua "boca". Em ambos os casos teríamos as modificações são bem mais difíceis do que as necessárias quando queremos alterar o período do sistema. Essas propriedades são completamente diferentes ...

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Section: Van Der Pol E Os Batimentos Cardía-cosunclassified

Oscilações de relaxação e suas aplicações -II

Viana

2011

Rev. Bras. Ensino Fís.

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“…In [31], it was shown that in a network of coupled van der Pol oscillators representing individual heart cells, one group of coupled oscillators could represent the right atrium called sino-atrial node. This cell aggregate generates the normal cardiac rhythm.…”

Section: A Network Of Coupled Van Der Pol Oscillatorsmentioning

confidence: 99%

“…In addition, there is another pacemaker, the atrio-ventricular node, which takes over when the former fails to perform well. As discussed in [31], this node could be represented by the other group and both groups interact with each other. Investigating conditions for synchrony of the two heart cell aggregates is of major importance as unsynchronised behaviour is associated with cardiac dysrhythmia, a life threatening heart disease.…”

Section: A Network Of Coupled Van Der Pol Oscillatorsmentioning

confidence: 99%

Obtaining certificates for complete synchronisation of coupled oscillators

August

Barahona

2011

Physica D: Nonlinear Phenomena

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In this paper, we provide a novel reformulation of sufficient conditions that guarantee global complete synchronisation of coupled identical oscillators to make them computationally implementable. To this end, we use semidefinite programming techniques. For the first time, we can efficiently search and obtain certificates for synchronisability and, additionally, also optimise associated cost functions. In this paper, a Lyapunov-like function (certificate) is used to certify that all trajectories of a networked system consisting of coupled dynamical systems will eventually converge towards a common one, which implies synchronisation. Moreover, we establish new conditions for complete synchronisation, which are based on the so called Bendixson's Criterion for higher dimensional systems. This leads to major improvements on the lower bound of the coupling constant that guarantees global complete synchronisation. Importantly, the certificates are obtained by analysing the connection network and the model representing an individual system only. In order to illustrate the strength of our method we apply it to a system of coupled identical Lorenz oscillators and to coupled van der Pol oscillators.

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“…Considering the complexity of coupled oscillators system, this fact can be explained by relation between coupling terms or by quasiperiodic response of the system. According to Santos et al (2004), a great variation between coupling terms, with one of them approaching to zero, makes the system presents practically a unidirectional coupling, and consequently the response in bifurcation diagram is represented by a cloud of points, characterizing not only the presence of periodic and chaotic orbits, as also pseudotrajectories. More details about this subject can be seen in Grebogi et al (2002).…”

Section: Dynamical Analysis Of the Oscillators Systemmentioning

confidence: 99%