Seltenheit der Gleichungen mit Affekt bei linearem Parameter

Hering, H. E.

doi:10.1007/bf01350589

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“…[2,3]). Man kann auch zeigen, dab die Anzahl der Ausnahmewerte als NuUstellen gewisser Diskriminanten (vgl.…”

Section: F(x Cu T)=_x"+clx"-l + + C X " -" + + T X " unclassified

“…Man kann auch zeigen, dab die Anzahl der Ausnahmewerte als NuUstellen gewisser Diskriminanten (vgl. [2], S. 264, 268 unten) hSchstens (v + 1)-nist. Ober die GrSBe der Ausnahmewerte scheint bisher nichts bekannt zu sein.…”

Section: F(x Cu T)=_x"+clx"-l + + C X " -" + + T X " unclassified

“…Ober die GrSBe der Ausnahmewerte scheint bisher nichts bekannt zu sein. Die Diskriminanten selbst sind numerisch sehr schwer zug~inglich; daher wird bier mit einer ~ihnlichen Methode wie in [2] eine numerische Absch~itzung ffir Ic,*,l nach unten angegeben, mit der Affektlosigkeit der vorgelegten Gleichung fiber Q(t) fiir alle rationalen c*, die dieser hinreichenden Bedingung geniigen, erzwungen werden kann; dabei wird 5fters auf Darstellungen in [2-1 Bezug genommen. Die Hauptergebnisse sind in den S~itzen 1, 2, 3 pr~izisiert.…”

Section: F(x Cu T)=_x"+clx"-l + + C X " -" + + T X " unclassified

“…Verzweigungsordnung und Nullstellenordnung sind gleich (vgl. [2]). /~(x, cu) = 0 ist als algebraische Gleichung ftir ((%) tiber C(cu) oftensichtlich irreduzibel.…”

Section: R(~ C~*)= X -Q[n X Q-1 + ( N _ P) % X¢-p -L + + ( Nunclassified

“…Da wegen der Irreduzibilit~it der gegebenen Gleichung iiber C ( t ) die M o n o d r o m i e g r u p p e transitiv ist und von dem m6glicherweise vorliegenden h6heren Zyklus hSchstens n -1 Elemente erfaBt werden, ist nach einem bekannten Satz (vgl. [2]) die M o n o d r o m i e g r u p p e immer primitiv, und damit ist sie und mit ihr auch die algebraische G r u p p e symmetrisch.…”

Section: R(~ C~*)= X -Q[n X Q-1 + ( N _ P) % X¢-p -L + + ( Nunclassified

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�ber Koeffizientenbeschr�nkungen affektloser Gleichungen

Hering¹

1971

Math. Ann.

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(1) mit den rationalen Koeffizienten c i, i=t=#,v, c,=l=0 ffir #,vW-n, der Variablen t und einem Parameter % sind fiir fast alle rationalen c*(e Q) affektlos fiber Q(t), wenn man im wesentlichen die Teilerfremdheit gewisser Indizes voraussetzt (vgl. [2, 3] Die Hauptergebnisse sind in den S~itzen 1, 2, 3 pr~izisiert. In Satz 4 wird ffir zwei Spezialf~ille eine scharfe Aussage gemacht.Bemerkun 9 1. Im folgenden werden die Menge der natfirlichen Zahlen mit N, die der ganzen Zahlen mit Z, der KSrper der rationalen Zahlen mit Q und der komplexe ZahlenkSrper mit C bezeichnet. II.In jeder Gleichung des Typs (1) sei p der Index des ersten auf c o = 1 folgenden und von Null verschiedenen numerischen Koeffizienten, q der des vorletzten von Null verschiedenen numerischen Koeffizienten, c, schlieBlich der letzte Koeffizient dieser Art (q = 0 fiJr p = r).Das im folgenden auftretende Quadrupel [¢o, a, s, c] ist definiert:j [#,v,p, 1] ftir co=# [co, s, c] I [ r -p , r -v , q , G ] fiir c o = r -p .9*

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“…[2,3]). Man kann auch zeigen, dab die Anzahl der Ausnahmewerte als NuUstellen gewisser Diskriminanten (vgl.…”

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“…Verzweigungsordnung und Nullstellenordnung sind gleich (vgl. [2]). /~(x, cu) = 0 ist als algebraische Gleichung ftir ((%) tiber C(cu) oftensichtlich irreduzibel.…”

Section: R(~ C~*)= X -Q[n X Q-1 + ( N _ P) % X¢-p -L + + ( Nunclassified

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�ber Koeffizientenbeschr�nkungen affektloser Gleichungen

Hering¹

1971

Math. Ann.

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Averages and higher moments for the $$\ell $$-torsion in class groups

Frei

Widmer

2020

Math. Ann.

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We prove upper bounds for the average size of the $$\ell $$ ℓ -torsion $${{\,\mathrm{Cl}\,}}_K[\ell ]$$ Cl K [ ℓ ] of the class group of K, as K runs through certain natural families of number fields and $$\ell $$ ℓ is a positive integer. We refine a key argument, used in almost all results of this type, which links upper bounds for $${{\,\mathrm{Cl}\,}}_K[\ell ]$$ Cl K [ ℓ ] to the existence of many primes splitting completely in K that are small compared to the discriminant of K. Our improvements are achieved through the introduction of a new family of specialised invariants of number fields to replace the discriminant in this argument, in conjunction with new counting results for these invariants. This leads to significantly improved upper bounds for the average and sometimes even higher moments of $${{\,\mathrm{Cl}\,}}_K[\ell ]$$ Cl K [ ℓ ] for many families of number fields K considered in the literature, for example, for the families of all degree-d-fields for $$d\in \{2,3,4,5\}$$ d ∈ { 2 , 3 , 4 , 5 } (and non-$$D_4$$ D 4 if $$d=4$$ d = 4 ). As an application of the case $$d=2$$ d = 2 we obtain the best upper bounds for the number of $$D_p$$ D p -fields of bounded discriminant, for primes $$p>3$$ p > 3 .

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Discriminants of fields generated by polynomials of given height

Dietmann,

Ostafe,

Shparlinski

2023

Isr. J. Math.

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We obtain upper bounds for the number of monic irreducible polynomials over $$\mathbb{Z}$$ Z of a fixed degree n and a growing height H for which the field generated by one of its roots has a given discriminant. We approach it via counting square-free parts of polynomial discriminants via two complementing approaches. In turn, this leads to a lower bound on the number of distinct discriminants of fields generated by roots of polynomials of degree n and height at most H. We also give an upper bound for the number of trinomials of bounded height with given square-free part of the discriminant, improving previous results of I. E. Shparlinski (2010).

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Seltenheit der Gleichungen mit Affekt bei linearem Parameter

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