Sistemas de seções transversais próximos a níveis críticos de sistemas Hamiltonianos em $\mathbb{R}^4$

Abstract

A minha família, especialmente aos meus pais Silméia e Leônidas e ao meu irmão Arthur pela compreensão e pelas palavras de apoio e incentivo.Ao meu noivo Bruno pelo companheirismo, pela paciência e por me trazer alegria e otimismo até mesmo nos momentos mais difíceis.Ao meu orientador Pedro A. S. Salomão pela competência, pela dedicação, pela disponibilidade e por me apresentar umaárea tão próspera e fascinante da Matemática.Aos membros da comissão julgadora pelas sugestões, pelos elogios e pelo encorajamento.Aos meus professores da UNESP de Rio Claro, da UNICAMP e da USP que me conduziram até aqui com tanta estima.A minha amiga Moara que, mesmo a distância, me conforta com seus conselhos e seu carinho.Aos meus amigos da UNESP e da USP: Adriano, Luciano, Danillo, Diego, Danilo, Edson, Tatiane, Pricila, Gustavo e Dylene, Bruno, André, Anderson, Marcelo, Hector e Susana, Débora e Humberto, Oscar e Eliane, Juliano e Graciele, e todos aqueles que estiveram ao meu lado durante estes anos de estudo.A FAPESP pelo apoio financeiro, sem o qual não seria possível desenvolver esta pesquisa. Neste trabalho estudamos dinâmica Hamiltoniana em R 4 restrita a níveis de energia próximos a níveis críticos. Mais precisamente, consideramos uma função Hamiltoniana H : R 4 → R que possui um ponto de equilíbrio do tipo sela-centro p c ∈ H −1 (0) e assumimos que p c pertence a um conjunto singular estritamente convexo S 0 ⊂ H −1 (0). Então, mostramos que os níveis de energia H −1 (E), com E > 0 suficientemente pequeno, contêm uma 3-bola fechada S E próxima a S 0 que admite um sistema de seções transversais F E , chamado folheação 2 − 3. F Eé uma folheação singular de S E com conjunto singular formado por duasórbitas periódicas P 2,E ⊂ ∂S E e P 3,E ⊂ S E \ ∂S E . Aórbita P 2,Eé hiperbólica dentro do nível de energia H −1 (E), pertenceà variedade central do sela-centro p c , temíndice de Conley-Zehnder 2 eé o limite assintótico de dois planos rígidos de F E que, unidos com P 2,E , constituem a 2-esfera ∂S E . Aórbita P 3,E temíndice de Conley-Zehnder 3 eé o limite assintótico de uma família a um parâmetro de planos de F E contida em S E \ ∂S E . Um cilindro rígido conectando asórbitas P 3,E e P 2,E completa a folheação F E . Uma vez que F Eé um sistema de seções transversais, todas as suas folhas regulares são transversais ao fluxo Hamiltoniano de H. Como consequência da existência de uma tal folheação em S E , concluímos que aórbita hiperbólica P 2,E admite pelo menos umaórbita homoclínica contida em S E \ ∂S E . Palavras-chave:Fluxos Hamiltonianos, conjuntos singulares estritamente convexos, pontos de equilíbrio do tipo sela-centro, curvas pseudo-holomorfas em simplectizações, sistema de seções transversais.iii In this work we study Hamiltonian dynamics in R 4 restricted to energy levels close to critical levels. More precisely, we consider a Hamiltonian function H : R 4 → R containing a saddle-center equilibrium point p c ∈ H −1 (0) and we assume that p c lies on a strictly convex singular set S 0 ⊂ H −1 (0). Then we prove that the en...

Seções globais para fluxos de Reeb dinamicamente convexos em $L(p, 1)$ e folheação $3-2^3$ no Hamiltoniano de Hénon-Heiles

“…Por meio das definições apresentadas acima não é difícil verificar que ∈ é um ponto de equilíbrio se, e somente se, ( ) = 0 e, mais ainda, vale também ( ) = 0. Além disso, a forma simplética é invariante pelo fluxo Hamiltoniano, ou seja, * = , ver [21]. ( , | ), uma prova da existência desta base pode ser encontrada em [19].…”

Existência e destruição de toros invariantes, para uma certa família de sistemas Hamiltonianos no R4

“…A existência daórbita periódica hiperbólica Γ E nos remete a uma situação interessante, ainda a ser explorada, descrita em nos trabalhos [12], [13] e [11]. De fato, em [13], mostra-se um resultado de entropia topológica positiva, para sistemas hamiltonianos no R 4 , com uma singularidade sela-centro, no nível zero de energia, satisfazendo uma condição de convexidade neste nível de energia (ver [30] para uma definição de convexidade).…”

“…De fato, em [13], mostra-se um resultado de entropia topológica positiva, para sistemas hamiltonianos no R 4 , com uma singularidade sela-centro, no nível zero de energia, satisfazendo uma condição de convexidade neste nível de energia (ver [30] para uma definição de convexidade). A partir de um sistema de folheação transversal (ver [11] e [12] para uma definição) e por meio da análise próxima a umaórbita hiperbólica, que, no sistema definido em (1.1), coincide com aórbita Γ E , mostra-se o resultado de entropia topológica positiva. Portanto, se estabelecermos um resultado de convexidade para o sistema (1.1), válido para | | pequeno, poderíamos obter uma figura com as duasórbitas, Γ E e Γ E linkadas, com o comportamento próximo a Γ E descrito em [13], e o comportamento próximo aórbita elíptica Γ E , descrito neste texto.…”