Structure des groupes linéaires définissables dans un corps de rang de Morley fini

Abstract

We generalize several properties of linear algebraic groups to the case of the linear groups which are defined in a field of finite Morley rank. We show three structure theorems and the conjugacy of the borels, of the Carter subgroups, of the maximal tori. In conclusion we generalize the results to fields of Morley rank ω.n without subgroups of finite rank. In contrary to the case of finite Morley rank there are known examples of such fields with definable non-algebraic subgroups of GL n (K).

Groupes géométriques de rang de Morley fini

“…Aussi, par de [18, p. 123], si T désigne le tore maximal de C, alors C = T × R u (C). D'après la proposition 1.11 (iii) de [21], on a In(G) = (T ∩ In(G)) × (R u (C) ∩ In(G)). De plus, T ∩In(G) est constitué de l'ensemble deséléments semi-simples de In(G) et R u (C)∩In(G) est constitué de seséléments unipotents.…”

“…(ii) par les groupes définissablement linéaires (le lemme 2.4 de [21] donne le résultat pour G définissablement linéaire sur un seul corps K, mais le raisonnement s'étend facilement au cas général).…”

“…Comme c'est un sous-groupe résoluble et comme σ(G) est résoluble, V est résoluble. De plus, comme σ(L i ) est un sous-groupe résoluble et caractéristique deL i et commeL i est normal dans G/σ(G), O. Fréconle sous-groupe V est normal dans G, d'où V σ(G) et σ(L i ) = 1.Maintenant, si la caractéristique de K i est non nulle, alors le théorème 2.6 de[21] dit queL i est isomorphè a un produit de groupes simples algébriques sur K i , en particulierL i contient un tore décent non trivial, donc L i et G aussi, ce qui contredit l'hypothèse sur G. On en déduit que la caractéristique de K i est nulle pour tout i ∈ {1, . .…”

“…L'argument du paragraphe précédent appliquéà G/H au lieu de G/σ(G) permet de supposer H = 1. Comme G/H ∼ = G j , ceci signifie qu'on peut supposer G = G j définissablement linéaire sur un seul corps K.Maintenant, si K est de caractéristique non nulle, le théorème 2.6 de[21] montre que G est un groupe algébrique affine sur K donc, d'après la remarque 1.8, ses sous-groupes de Carter sont de Cartan et ils sont conjugués. Alors l'exemple 1.9 (ii) donne le résultat.…”

“…Alors l'exemple 1.9 (ii) donne le résultat. Si K est de caractéristique nulle, le théorème 2.9 de[21] permet de décomposer G = L × A 776 O. Frécon sous la forme d'un produit direct d'un groupe L définissable et sans unipotent et d'un groupe algébrique affine A. Alors C est le produit direct d'un sous-groupe de Carter D de L et d'un sous-groupe de Carter E de A. Or la remarque 1.8 montre que E est un sous-groupe de Cartan de A et l'exemple 1.9 (ii) dit que l'union des conjugués de E est générique dans A.…”