Sur la représentation conforme des surfaces de Riemann à bord et une caractérisation des courbes séparantes

Abstract

Sur la représentation conforme des surfaces de Riemann à bord et une caractérisation des courbes séparantes Alexandre GabardRésumé. On présente une démonstration simplifiée d'un théorème d'Ahlfors : étant donné une courbe algébrique réelle séparante, il est toujours possible d'exhiber un morphisme vers la droite dont les fibres au-dessus des points réels sont toutes exclusivement formées de points réels. Ensuite, on montre comment notre méthode, basée sur l'usage du théorème d'Abel, conduit à une meilleure borne sur le degré d'un tel morphisme que celle obtenue par Ahlfors.Abstract. We present a simplified proof of a theorem due to Ahlfors : given a dividing real algebraic curve, it is always possible to find a morphism to the line such that the fibers over real points consist only of real points. Then in a second part, we show how our method -which is quite elementary, relying only on the use of Abel's theorem -even leads to a better bound on the degree of such a morphism than the one obtained by Ahlfors. Codes AMS (2000). 14P25, 30F50, 14H40, 14C20. Mots clés.Courbes algébriques réelles séparantes, morphismes vers la droite, Théorème d'Abel, jacobienne, surfaces de Riemann à bord. IntroductionSoit C une courbe algébrique réelle projective, lisse et géométriquement irréductible de genre g. La conjugaison complexe induit une involution σ sur le lieu complexe C(C), qui fixe le lieu réel C(R). Il en résulte que le lieu imaginaire C(C) − C(R) est soit connexe, ou formé de deux composantes, auquel cas la courbe C est dite séparante. Une courbe réelle est donc soumise à la dichotomie (dévoilée par Klein) être ou ne pas être séparante (cf.[K], p. 565). Une question qui apparaît alors comme centrale est de disposer de critères pour la reconnaissance du caractère séparant ou non d'une courbe réelle donnée. Le point de départ du présent exposé est que si une courbe admet un morphisme vers la droite P 1 (qui est l'exemple le plus primitif de courbe séparante) satisfaisant à une condition bien particulière, alors le caractère séparant de la droite se transmet à la courbe, d'où un critère de séparation. L'objet de cette note est de montrer que ce critère est infaillible, en ce sens qu'il permet de On propose ici un argument on l'espère plus direct qui, moyennant le seul usage du théorème d'Abel, ramène cette question d'existence au simple fait topologique ; selon lequel tout point d'un tore T g = (R/Z) g peut s'écrire comme somme de g points situés sur g courbes fondamentales, i.e. qui forment une base de l'homologie de T g . Notre approche illustre donc une fois de plus la puissance des méthodes topologiques pour établir des résultats d'existence en géométrie algébrique.Dans un premier temps on retrouve exactement le même degré g + 1 que celui obtenu par Ahlfors. Ensuite en raffinant l'étude, on obtient une amélioration quantitative qui reflète parfaitement la topologie de la surface de Riemann à bord, qui est déterminée par les deux entiers p (= le genre de la surface à bord) et r (= le nombre de composantes du bord), en ...

5 Spectral geometry of the Steklov problem

“…The proof of Theorem 4.2.1 is based on the existence of a proper holomorphic covering map φ : Ω → D of degree γ + l (the Ahlfors map), which was proved in [37], and on an ingenious complex analytic argument due to J. Hersch, L. Payne and M. Schiffer [54], who used it to prove inequality (4.2.2) for planar domains. In this particular case, inequality (4.2.3) is known to be sharp.…”

A Compactness Theorem of the Space of Free Boundary f-Minimal Surfaces in Three-Dimensional Smooth Metric Measure Space with Boundary

“…We modify the argument in [15,Theorem 2.3]. Recall that any compact surface with boundary can be properly conformally branched cover the disk D. Precisely, there exists a proper conformal branched cover ϕ : ( ,ĝ) → D of degree at most γ + k (see [27]). Here we denote by the sameĝ as the induced metric on from (M 3 ,ĝ).…”

Pencils on real curves

“…(3)). From 13 we know T (3) = T ∖ H and we need to prove T (1) = T ∖ H too. Because of Theorem 3.2 we know T (1) ≠ ∅︁, we assume that T (1) ≠ T ∖ H .…”

“…In 9 it is also proved that for each topological type (8, s , a ) ≠ {(8, 1, 0), (8, 0, 1)} there is a general real curve X having no real \documentclass{article}\usepackage{amssymb}\begin{document}\pagestyle{empty}$g^1_5$\end{document}(while Theorem 4.4 implies there is a general real curve X having a real \documentclass{article}\usepackage{amssymb}\begin{document}\pagestyle{empty}$g^1_5\big )$\end{document}. On the other hand, the main result of 13 implies that there is no general real curve X of topological type (8, 1, 0) having no base point free \documentclass{article}\usepackage{amssymb}\begin{document}\pagestyle{empty}$g^1_5$\end{document} of topological degree (5). For real curves without real points it is proved in 20 that for each genus g there exist general real curves X of topological type ( g , 0, 1) such that \documentclass{article}\usepackage{amssymb}\begin{document}\pagestyle{empty}$X^1_k(X)(\mathbb {R})\setminus W^1_k(X)(\mathbb {R})^+$\end{document} is empty for each k ≤ g .…”