We investigate contrasting behaviours emerging when studying foliations on non-metrisable manifolds. It is shown that Kneser's pathology of a manifold foliated by a single leaf cannot occur with foliations of dimension-one. On the other hand, there are open surfaces admitting no foliations. This is derived from a qualitative study of foliations defined on the long tube S 1 × L + (product of the circle with the long ray), which is reminiscent of a 'black hole', in as much as the leaves of such a foliation are strongly inclined to fall into the hole in a purely vertical way. More generally the same qualitative behaviour occurs for dimension-one foliations on M × L + , provided that the manifold M is "sufficiently small", a technical condition satisfied by all metrisable manifolds. We also analyse the structure of foliations on the other of the two simplest long pipes of Nyikos, the punctured long plane. We are able to conclude that the long plane L 2 has only two foliations up to homeomorphism and six up to isotopy.

Sur la représentation conforme des surfaces de Riemann à bord et une caractérisation des courbes séparantes Alexandre GabardRésumé. On présente une démonstration simplifiée d'un théorème d'Ahlfors : étant donné une courbe algébrique réelle séparante, il est toujours possible d'exhiber un morphisme vers la droite dont les fibres au-dessus des points réels sont toutes exclusivement formées de points réels. Ensuite, on montre comment notre méthode, basée sur l'usage du théorème d'Abel, conduit à une meilleure borne sur le degré d'un tel morphisme que celle obtenue par Ahlfors.Abstract. We present a simplified proof of a theorem due to Ahlfors : given a dividing real algebraic curve, it is always possible to find a morphism to the line such that the fibers over real points consist only of real points. Then in a second part, we show how our method -which is quite elementary, relying only on the use of Abel's theorem -even leads to a better bound on the degree of such a morphism than the one obtained by Ahlfors. Codes AMS (2000). 14P25, 30F50, 14H40, 14C20. Mots clés.Courbes algébriques réelles séparantes, morphismes vers la droite, Théorème d'Abel, jacobienne, surfaces de Riemann à bord. IntroductionSoit C une courbe algébrique réelle projective, lisse et géométriquement irréductible de genre g. La conjugaison complexe induit une involution σ sur le lieu complexe C(C), qui fixe le lieu réel C(R). Il en résulte que le lieu imaginaire C(C) − C(R) est soit connexe, ou formé de deux composantes, auquel cas la courbe C est dite séparante. Une courbe réelle est donc soumise à la dichotomie (dévoilée par Klein) être ou ne pas être séparante (cf.[K], p. 565). Une question qui apparaît alors comme centrale est de disposer de critères pour la reconnaissance du caractère séparant ou non d'une courbe réelle donnée. Le point de départ du présent exposé est que si une courbe admet un morphisme vers la droite P 1 (qui est l'exemple le plus primitif de courbe séparante) satisfaisant à une condition bien particulière, alors le caractère séparant de la droite se transmet à la courbe, d'où un critère de séparation. L'objet de cette note est de montrer que ce critère est infaillible, en ce sens qu'il permet de On propose ici un argument on l'espère plus direct qui, moyennant le seul usage du théorème d'Abel, ramène cette question d'existence au simple fait topologique ; selon lequel tout point d'un tore T g = (R/Z) g peut s'écrire comme somme de g points situés sur g courbes fondamentales, i.e. qui forment une base de l'homologie de T g . Notre approche illustre donc une fois de plus la puissance des méthodes topologiques pour établir des résultats d'existence en géométrie algébrique.Dans un premier temps on retrouve exactement le même degré g + 1 que celui obtenu par Ahlfors. Ensuite en raffinant l'étude, on obtient une amélioration quantitative qui reflète parfaitement la topologie de la surface de Riemann à bord, qui est déterminée par les deux entiers p (= le genre de la surface à bord) et r (= le nombre de composantes du bord), en ...

We analyze the relationship between Hausdorffness and homogeneity in the frame of manifolds not confined to be Hausdorff. We exhibit examples of homogeneous non-Hausdorff manifolds and prove that a Lindelöf homogeneous manifold is Hausdorff.

Abstract. We show that the Prüfer surface, which is a separable non-metrizable 2-manifold, has not the homotopy type of a CW-complex. This will follow easily from J. H. C. Whitehead's result: if one has a good approximation of an arbitrary space by a CW-complex, which fails to be a homotopy equivalence, then the given space is not homotopy equivalent to a CW-complex.2000 Mathematics Subject Classification. 57N05, 57N99, 54D65, 57Q05.

Beweisen heißt, den Gedankengang auf den Kopf stellen." Oswald Teichmüller, 1939, in Extremale quasikonforme Abbildungen und quadratische Differentiale.