Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d’unp-groupe abélien élémentaire

Abstract

Sur les espaces fonctionnels dont la source est le classifiant d'un p-groupe abélien élémentaire Publications mathématiques de l'I.H.É.S., tome 75 (1992), p. 135-244 <http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1992__75__135_0> © Publications mathématiques de l'I.H.É.S., 1992, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Publications mathématiques de l'I.H.É.S. » (http:// www.ihes.fr/IHES/Publications/Publications.html) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d'une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 136 JEAN LANNES Gela tient aux propriétés de la cohomologie modulo p de l'espace BV, à la fois comme module et algèbre instable sur l'algèbre de Steenrod modulo p, qui en font ce qu'on pourrait appeler un co-espace d'Eilenberg-Mac Lane. Pour exprimer ces propriétés, il nous faut introduire les analogues du bifoncteur hom(,) dans les catégories des modules et algèbres instables sur l'algèbre de Steenrod modulo p. On note :-A l'algèbre de Steenrod modulo p;-% la catégorie des A-modules instables (pour p = 2, un A-module M est instable si S^ x == 0 quand i est strictement plus grand que le degré de x, x parcourant M) ;-jf la catégorie des A-algèbres instables (la cohomologie modulo p d'un espace Y, notée H* Y, est l'exemple type d'une telle algèbre). Soit X un espace, on définit le foncteur Y t-> hom(X, Y) comme l'adjoint à droite du foncteur Z »-> X x Z. Il n'est pas difficile de calquer cette définition dans les catégories ^ et jf. Soient ^ l'une de ces deux catégories et K un objet de % 7 que l'on suppose de dimension finie en chaque degré, on montre que le foncteur % 7-> ^, Nh-^K®N admet un adjoint à gauche que l'on note M i-»-(M : K)^. Supposons H* X de dimension finie en chaque degré, nous avons tout fait pour avoir un J^-morphisme naturel :

The homotopy theory of fusion systems

“…Since C has bounded limits at p by assumption, there are only a finite number of nonzero columns in each spectral sequence, and so the resulting filtrations of H * (Z) and Fix(H * V (X)) are both finite. Hence (using the exactness of Fix again) Φ induces an isomorphism [La,Theorem 4.9.1] again, this implies that…”

“…We first recall the notation of Lannes [La,§4]. For any M in H * V -U, i.e., any unstable module over the Steenrod algebra with compatible H * V -module structure,…”

“…For each object c in C, the spaces F (c) and [La,Theorem 4.9.1] (applied with Z = F (c) hV and X = F (c)). Thus…”

New relationships among loopspaces, symmetric products, and Eilenberg Maclane spaces

“…These finite complexes were explored in the 1970's and 1980's in work by M.Mahowald, E.Brown, S.Gitler, F.Peterson, R. Cohen, G.Carlsson, H.Miller, J.Lannes, and P.Goerss, among others. (Entries into the extensive literature include [Mah,BC,Ca,Mi2,L2,GLM,HK].) They played an essential role in a number of the major achievements in homotopy theory during this time: Mahowald's construction [Mah] of an infinite family of 2-primary elements in π S * (S 0 ) having Adams filtration 2; Goerss, Lannes, and F.Morel's work [GLM] on representing mod 2 homology by maps from (desuspensions of) the T (j)'s; and Miller's proof of the Sullivan conjecture [Mi2].…”

Lannes’ T functor on injective unstable modules and Harish-Chandra restriction

“…Main result. Lannes' main tool is his magic functor T : U → U, a left adjoint to the functor given by M → M ⊗ H where H := H * Z/p [Lan92]. The exactness of Lannes' T-functor reflects the U-injectivity of H. It comes with a reduced version T, a left adjoint to the tensor product with H = H * Z/p, and the decomposition H = H ⊕ F p induces a natural decomposition: TM ∼ = M ⊕ T(M) Our main result describes the value of T on reduced U-injectives.…”