Sur quelques propriétés des fonctions entières

Abstract

L'6ude directe des ddveloppement en s6rie, ~ laquelle ABEL a su donner une si brillante impulsion, et qu'il a appel6e ,)l~ pattie la plus essentielle des ma~hdmatiques~, a occup6, darts ]es h'avaux de ses successeurs, une place prdponddrante ]he moment est venu maintenant de considdrer en eux-m~mes et d'~nalyser uvee quelques ddtails les types gdndraux de fonctions dont la science a 6t6 ainsi enriehie. Or il faut bien reconnaltre que les propridtds d'une foncfion n'upparaissen~ que raremen~ sur un ddveloppement infini. C'est pourquoi il sera souvent avantageux de substituer h l'6tude d'un d6veloppemen~ eelle de caractSres moins prgcis mais plus intuitifs, ~ptes h servir de marque aux fonetions d'une elasse d6terminde, en permettant de les distinguer des fonetions voisines et de les reconnaitre ]orsqu'elles sont dgfinies par une 6quation diffgrentielle ou de route autre maniSre.Le mode de eroissanee, objet des beaux travaux de MM. HADA.~AIr et BOlmL, paralt ~tre, pour les fonctions enti~res, un tel caractSre. Toutefois, si l'on veut que la connaissance de ce raode de croissance puisse, dans une 6tude ultdrieure, tenir lieu de celle de la fonction, il est n6cessaire de ]e d6terminer avec plus de prdeision qu'on ne l'a fait encore. C'est la. tg.che que je me suis propos6e dans ce mdmoire.MM. I-IADAMAI~D e~ BOREL ont montr6 ~ que le module d'une fonction enti~re d6pend 6troitement de celui dun ~'~ z6ro. Toutefois l'on ~vait 1 Des g6n4ralisations des th4or~mes de MIni. }IADAI~IARD et ~OREL viennent d'6tre tout r~cemment indiqu4es par M. E. LI~DEL()F qlli ~t 6tabli des propositions voisines de celles qui sont expos6es dans la premiere partie de ce travail, hi. LINDELOF a (~g~dement obtenu, de son c6t4, un exemple de fonction de genre z6ro se trouvant la somme de deux fonctions de genre an.

Some Estimates for Logarithmic Derivatives of Meromorphic Functions

“…For an entire function of finite growth order, Boutroux[1] presented similar estimates. However the proof of the key inequality[1, p. …”

Nevanlinna Theory and Difference Equations of Painlevé Type

“…The order of the non-rational solutions of these equations are 5/2, 3, and 4 respectively [5,8]. These results suggest that meromorphic solutions to equations of Painlevé type are of finite order.…”

Otto Blumenthal (1876–1944) in retrospect

“…In 1897 Borel [17] notably generalized Picard's theorem in the case of finite order (g) < ∞, by proving (a, g) = (g) for all a with at most one exception and that such an exception can occur only if (g) is a positive integer. Some years later, Lindelöf [121], Boutroux [20] and Maillet [128] refined and extended this result of Borel for entire functions of finite iterated order, i.e., those that are entire functions g with the property that there exists a positive integer m such that lim sup r→∞ log m+1 M(r, g) log r…”

“…Hilbert apparently became aware of Blumenthal's talents during a joint seminar conducted by Hilbert and Klein. In 1899 Blumenthal took the exams enabling him to teach mathematics, chemistry, and physics in secondary schools, and spent the winter of 1899/1900 in Paris, studying first and foremost 20 H. Behnke, a senior mathematician at the University of Münster at the time, in fact suggested to the chief-editor (Butzer) of the "Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung" in 1964/65 that Max Pinl (recall Notes 1,2) would be the ideal author for the series of articles. Max Pinl was pleased to accept this almost overwhelming task and within a comparatively short time assembled an impressive bibliographical corpus of information.…”