Surface Projective Convexe de volume fini

Marquis, Ludovic

doi:10.5802/aif.2707

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“…On pourra trouver une courte démonstration de ce théorème dans [Mar09b]. Le domaine fondamental D rencontre un nombre fini d'hyperplans γ(H) pour γ ∈ Γ.…”

Section: Démonstration Du Lemme 48 -unclassified

“…La figure 1 montre un pavage par une tuile compacte et un pavage par une tuile non compacte mais de volume fini du modèle projectif de l'espace hyperbolique. L'auteur s'est interessé dans sa thèse à la description des surfaces projectives convexe de volume fini ( [Mar09a,Mar09b]). Le but de cette article est de montrer le théorème suivant :…”

Section: Introductionunclassified

“…Dans [Mar09b], l'auteur a montré que tout convexe quasi-divisible de dimension 2 est strictement convexe. La généralisation de ce résultat en dimension supérieure est fausse.…”

Section: Introductionunclassified

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Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

Marquis¹

2012

Enseign. Math.

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Résumé. -Nous construisons des exemples de variétés projectives Ω Γ proprement convexes de volume fini, non hyperbolique, non compacte en toute dimension n ⩾ 2. Ceci nous permet au passage de construire des groupes discrets Zariski-dense de SL n+1 (R) qui ne sont ni des réseaux de SL n+1 (R), ni des groupes de Schottky. De plus, l'ouvert proprement convexe Ω est strictement convexe, même Gromov-hyperbolique.Abstract. -We build examples of properly convex projective manifold Ω Γ which have finite volume, are not compact, nor hyperbolic in every dimension n ⩾ 2. On the way, we build Zariski-dense discrete subgroups of SL n+1 (R) which are not lattice, nor Schottky groups.Moreover, the open properly convex set Ω is strictly-convex, even Gromov-hyperbolic. IntroductionUne variété projective proprement convexe est le quotient d'un ouvert ouvert proprement convexe Ω de l'espace projectif réel P n = P n (R) par un sous-groupe discret sans torsion Γ de SL n+1 (R) qui préserve Ω. Lorsque le quotient Ω Γ est compact, ces variétés ont été beaucoup étudiés durant ces dernières années. On pourra lire par exemple les articles suivants : [Ben03a,Ben04,Ben05,Ben06a,Cra09,Gol90]. Pour un survol de l'état du sujet en 2006, on pourra lire [Ben08].Un ouvert proprement convexe de l'espace projectif réel possède une distance (dite de Hilbert) et une mesure (dite de Busemann) invariantes par les transformations projectives qui le préservent. Nous détaillons ces points au paragraphe 1.1, passons plutôt à l'exemple essentiel.L'exemple le plus important d'ouvert proprement convexe est l'ellipsoïde. On considère la forme quadratique q(x 1 , ...., x n+1 ) = x 2 1 + ... + x 2 n − x 2 n+1 sur R n+1 . On note E la projection du cône de lumière de q (i.e. l'ensemble des points {x ∈ R n+1 q(x) < 0}) sur P n . Nous appelerons toute image par une transformation projective de l'ouvert E : un ellipsoïde. Muni de sa distance de Hilbert, un ellipsoïde est isométrique à l'espace hyperbolique réel H n . Il s'agit du modèle projectif de l'espace hyperbolique, que l'on appele parfois modèle de Beltrami-Klein. En particulier, cet ouvert est homogène, c'est-à-dire que le groupe Aut(Ω) = {γ ∈ SL n+1 (R) γ(Ω) = Ω} agit transitivement sur Ω. La figure 1 montre un pavage par une tuile compacte et un pavage par une tuile non compacte mais de volume fini du modèle projectif de l'espace hyperbolique. Théorème. -En toute dimension n ⩾ 2, il existe un couple (Ω n , Γ n ) où Ω n est un ouvert proprement convexe strictement convexe de P n et Γ n un sous-groupe discret de SL n+1 (R) qui préserve Ω n et tel que :⋅ Le quotient Ω n Γn est de volume fini.Le quotient Ω n Γn n'est pas compact. ∴ Le groupe Γ n est d'indice fini dans le groupe Aut(Ω). En particulier, l'ouvert proprement convexe Ω n n'est pas homogène.De plus, l'ouvert Ω n que l'on va construire sera Gromov-hyperbolique et le groupe Γ n sera Zariski-dense dans SL n+1 (R).Remarque 1.1. -Yves Benoist a montré dans [Ben04] que tout ouvert proprement convexe de P n Gromov-hyperbolique est strictement convexe. Karl...

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“…On pourra trouver une courte démonstration de ce théorème dans [Mar09b]. Le domaine fondamental D rencontre un nombre fini d'hyperplans γ(H) pour γ ∈ Γ.…”

Section: Démonstration Du Lemme 48 -unclassified

Section: Introductionunclassified

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Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

Marquis¹

2012

Enseign. Math.

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“…Dans l'article [17], l'auteur a donné des caractérisations du fait qu'une structure projective proprement convexe est de volume fini. On a notamment montré qu'une structure projective proprement convexe à bord géodésique sur une surface à bord de type fini S est de volume fini si et seulement si l'holonomie des lacets élémentaires non homotopes à une composante connexe du bord de S est parabolique.…”

Section: Présentation Des Résultatsunclassified

“…Ainsi, [17] permet de faire le lien entre l'espaceˇf . † g;p / et un espace de représen-tations du groupe fondamental de † g;p étudié par Fock et Goncharov.…”

Section: Présentation Des Résultatsunclassified

Espace des modules marqués des surfaces projectives convexes de volume fini

Marquis

2010

Geom. Topol.

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A convexity theorem for real projective structures

Lee

2015

Geom Dedicata

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Given a finite collection P of convex n-polytopes in RP n (n ≥ 2), we consider a real projective manifold M which is obtained by gluing together the polytopes in P along their facets in such a way that the union of any two adjacent polytopes sharing a common facet is convex. We prove that the real projective structure on M is 1. convex if P contains no triangular polytope, and 2. properly convex if, in addition, P contains a polytope whose dual polytope is thick.Triangular polytopes and polytopes with thick duals are defined as analogues of triangles and polygons with at least five edges, respectively.

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Surface Projective Convexe de volume fini

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Exemples de variétés projectives strictement convexes de volume fini en dimension quelconque

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