Symmetric Approach to the Fundamental Notions of General Topology

Schmidt, Jürgen

doi:10.1016/b978-1-4831-9850-7.50078-3

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“…The development of dependence theory is not only influenced profoundly by many branches of mathematics but also is interesting and growing rapidly in its own right [1,2,4,14,15,18,19]. An obvious example of dependences in the sense [1] is the linear dependence in a vector space for which the properties of being a basis, a maximal independent subset, and a minimal spanning subset coincide.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Dependences related to strict binary relations

Hsiao

Yeh

2005

Theoretical Computer Science

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In this paper we study dependences on a free monoid X* and their relations to strict binary relations on X*. As a consequence we characterize strict binary relations by the notion of dependence. Moreover, some results concerning the relationship between dependences and codes are also obtained. A visualization of this work is provided by the theory of graph. (c) 2005 Elsevier B.V. All rights reserved

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Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

Dependences related to strict binary relations

Hsiao

Yeh

2005

Theoretical Computer Science

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“…Acknowledgment: It is difficult for me to trace back in every detail the influence, JÜRGEN SCHMIDT (see [11]) might have exerted to the development of Section 1 down to Proposition 1 and of Section 4, since we used to exchange unpublished results and ideas years ago in a fruitful period of cooperation (which started in 1957). The relationship between Schmidt's paper [11] and Sections 1 and 4 of this paper can partly be deduced from the footnotes 14, 19, 21 in [3] and footnote 1 in [9].…”

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confidence: 99%

The hyperspace of lower semicontinuity and the first power of a topological space

Grimeisen¹

1974

Czech. Math. J.

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Approximationsfunktoren

Grimeisen¹

1968

Mathematische Nachrichten

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Wenn man in der Theorie der Limes-und Adharenzraume arbeitet nnd dabei voii der speziellen Art der zugrunde gelcgteii ,,Approximatoren" (zum Beispiel Folgen oder Filtern) abstrahiert, so stol3t man unvermeidlich auf Bedingungen, denen man die Klasse der betrachteten Approximatoren zu unterwerfen hat. Beispielsweise hat man dafiir zu sorgen, da13 mit jeder Folge hinrsicliend viele Teilfolgen zu dieser Klasse gehoren, eine Bedingung, die im klassischeii Limesraum von FRECHET (s. FRBCHET [4], ALEXANDROFF und URYSOHN [I], URYSOHN [IS]) automatisch erfullt ist. Auf der Suche riach einer Verallgemeinerung verschiederier Typen von Limes-und Adharenzraumen wird man deshalb der jeweils vorgelegten Klasse von Approximatoren sein Hauptaugenmerk widmen. Sobald man Familien von Limesoder Adhiirenzraumen, wie etwa bei der Produktbildung voii solchen Raumen, studiert, erweist sich auch die Klasse von Approximatoren als Grundbegriff als nicht adaquat. Es scheint dem Verfasser, daIj Abbildungen @ der Klasse B aller Mengen, deren Bildelemente @ M mit 31 E f bestimmte Mengen voii Approximatoren sind, technisch gesehen gut dazu geeignet sind, gewisse Eigenschaften, die Klassen von Approximatoren gemeinsam sind, axiomatisch widerzuspiegeln. Wir neniien eine solche (gewissen Axiomen unterworfene) Abbildung @ einen Approximationsfunktor. Aus dem Begriff 1) Unter dem Titel ,,The product of cluster spaces" habe ich iiber eirien kleinen Teil dieser Arbeit erstmals auf dem ,,Simposi Archimedei del 1964", Siracusa (Italia), 27. bis 30. April 1964, spater auf einer Tagung der Amer. Math. Soc., Athens (Georgia), November 1964 (5. [9]) vorgetragen. Dazu, diese Arbeit nun zu veroffentlichen, wurde ich durch ein Referat von Herrn JURGEN SCHMIDT (,,Symmetric approach to the fundamental notions of general topology") auf dem ,,Second Symposium on General Topology and its Relations t o Modern Analysis and Algebra", Prag, 30. August bis 4. September 1966, ermutigt, in dem im wesentlichen die Ansatze (1.3) und (1.10) unter Hinweis auf mich zitiert wurden. (Zusatz wahrend der Drucklegung : Vgl. SCHMIDT [lcia].) 2, Wesentliche Teile dieser Arbeit habe ich erstmals wlhrend meines Aufenthaltes an der University of Florida (Gainesville) im a.kademischen Jahr 1964!65 niedergeschrieben. 24 3Iath.Nachr. 1968, Bd. 37, H. 5/6 360 Grimeisen, Approximationsfunktoren eines zu @ gehorigen ,,Adharenzraumes" (s. $1) erhalt man im wesentlicheii durch Spezialisierung von di die Begriffe eines Adharenzraumes im Sirine von [6], 9 3, eines Limesraumes im Sinne von [6], § 3, eiiies ,,Folgen-Adharenzraumes" (s. Beispiel 3 in Q 1) und eines ,,Folgen-Limesraumes" (s. Beispiel 4 in 1) ; der letztgenannte Begriff hangt auf das engste mit dem des FREcHETschen Limesraumes zusammeii.I n der vorliegenden Arbeit beschranken wir uns auf die Mitteilurig der Grundtatsachen uber xu @ gehorige Adharenxraume. In $ 1 wird dieser Begriff eingefiihrt, in Q 2 w-ird der Begriff eines xu di gehorigen quasitopologischen Raumes diskutiert, in § 3 die eisieirideutige Entsprechung zwischeri Adharen...

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Dependences related to strict binary relations

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