The computation of sextic fields with a quadratic subfield

Bergé, Anne-Marie; Martinet, Jacques; Michel, Olivier

doi:10.1090/s0025-5718-1990-1011438-8

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“…Ce paragraphe ne concerne que l'article [11], connu sous le nom musical de BéMO , dans lequel, faute de pouvoir manipuler des bases relatives, nous avons programmé des calculs p-adiques pour classer jusqu'à une borne donnée de leurs discriminants absolus les corps sextiques qui sont une extension cubique d'un corps quadratique. [12] [14], [17] et [15], auxquels ont peut aussi rattacher le survol [18].…”

Section: Théorie Algébrique Et Algorithmique Des Nombresunclassified

Anne-Marie Bergé – In Memoriam

Martinet¹

2008

J. Théor. Nombres Bordeaux

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Anne-Marie Bergé – In Memoriam

Martinet¹

2008

J. Théor. Nombres Bordeaux

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“…Now, we have tables of sextic fields containing a cubic field, with their relative discriminants. Those fields with a quadratic subfield are in the tables mentioned earlier (see [3]). So, we have to detect whether K contains a quadratic subfield k ; if the answer is positive, we eliminate those sextic fields from the tables.…”

Section: Quadratic Subfields and Isomorphismsmentioning

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“…In a previous paper [3] with A.-M. Berge and J. Martinet, we described relative methods for finding sextic fields with a quadratic subfield up to a given bound on the discriminant. These methods were inspired by general considerations on a geometric approach to this subject explained by J.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…They provide algorithmic tools for constructing extensive tables of number fields of given degree and signature in the relative case. Here we develop these tools to compute tables of sextic fields with a cubic subfield and no quadratic subfield (those fields with both a cubic and a quadratic subfield are presented in the tables mentioned above [3]).…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

“…Given a signature, a cubic field k, and a bound M, it consists of building a list of quadratic polynomials over k such that any sextic field K/Q containing k with absolute value of discriminant less than M is defined by some of these polynomials. The bound M depends on the signature: 7 • 107 for totally real sextic fields, 2 • 107 for sextic fields with four real places, 16 • 106 for sextic fields with two real places and a totally real cubic subfield, 3 • 106 for sextic fields with two real places and a complex cubic subfield, 5 • 107 for totally imaginary sextic fields with a totally real cubic subfield, and 3 • 106 for totally imaginary sextic fields with a complex cubic described in [3]); using approximations of the roots, we then compute by localization the relative discriminant DK/k of K/k ; a relative integral basis might not exist ( §5).…”

Section: Introductionmentioning

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The Computation of Sextic Fields with a Cubic Subfield and no Quadratic Subfield

Olivier¹

1992

Mathematics of Computation

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We describe six tables of sixth-degree fields K containing a cubic subfield k and no quadratic subfield: one for totally real sextic fields, one for sextic fields with four real places, two for sextic fields with two real places, and two for totally imaginary sextic fields (depending on whether the cubic subfield is totally real or not). The tables provide for each possible discriminant dg of K a quadratic polynomial which defines K/k , the discriminant of the cubic subfield and the Galois group of a Galois closure AT/Q of K/Q. subfield. This is discussed in §4. In the second step, we remove the reducible polynomials and those which define a sextic field containing a quadratic subfield (these fields are in the tables

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On the Resolution of Index Form Equations in Sextic Fields with an Imaginary Quadratic Subfield

Gaál

Pohst

1996

Journal of Symbolic Computation

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We give an efficient algorithm for the resolution of index form equations, especially for determining power integral bases, in sextic fields with an imaginary quadratic subfield. The method reduces the problem to the resolution of a cubic relative Thue equation over the quadratic subfield. At the end of the paper we give a table containing the generators of all power integral bases in the first 25 fields of this type with smallest discriminant (in absolute value).

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The computation of sextic fields with a quadratic subfield

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The Computation of Sextic Fields with a Cubic Subfield and no Quadratic Subfield

On the Resolution of Index Form Equations in Sextic Fields with an Imaginary Quadratic Subfield

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