The Differential on Graph Operator Q(G)

Abstract

If G = ( V ( G ) , E ( G ) ) is a simple connected graph with the vertex set V ( G ) and the edge set E ( G ) , S is a subset of V ( G ) , and let B ( S ) be the set of neighbors of S in V ( G ) ∖ S . Then, the differential of S ∂ ( S ) is defined as | B ( S ) | − | S | . The differential of G, denoted by ∂ ( G ) , is the maximum value of ∂ ( S ) for all subsets S ⊆ V ( G ) . The graph operator Q ( G ) is defined as the graph that results by subdividing every edge of G once and joining pairs of these new vertices iff their corresponding edges are incident in G. In this paper, we study the relations between ∂ ( G ) and ∂ ( Q ( G ) ) . Besides, we exhibit some results relating the differential ∂ ( G ) and well-known graph invariants, such as the domination number, the independence number, and the vertex-cover number.

Alianzas defensivas fuertes en gráficas clásicas bajo el operador S(G) y R(G)

“…El estudio de las propiedades matemáticas y estructurales de los operadores en gráficas son un área de investigación relativamente reciente y activa en la teoría de gráficas. Por ejemplo, en el trabajo de Basilio et al (2020) se exploró la relación entre el diferencial de una gráfica 𝐺 y el diferencial de 𝑄(𝐺), mientras que establece límites exactos para el número de dominación total de las gráficas 𝑆(𝐺), 𝑅(𝐺) y 𝑄(𝐺) utilizando algunos parámetros en la gráfica original 𝐺. Asimismo, Bermudo (2023) considera algunos operadores que actúan sobre alguna gráfica árbol arbitraria 𝑆(𝐺), 𝑅(𝐺), 𝑄(𝐺) y T(T) y dan algunos límites del número total de dominación de estas nuevas gráficas incorporando otros parámetros en la gráfica T. También, se determinó el valor exacto del número de dominación total en algunos de ellos.…”

Total Domination on Tree Operators

“…Motivated by the above works and by [12,13], where the total domination number is studied for some graph operators acting on general graphs, we study here the total domination number of several graph operators acting on trees. Other parameters have also been studied in this type of graphs (see [1,2,9]).…”

Total Domination on Some Graph Operators

“…Motivated by the previous investigations, we work here on the total domination number of some graph operators. Other important parameters have also been studied in this type of graphs (see References [7,8]).…”