The equations of the approximate theory of the motion of a rigid body with a vibrating suspension point

On the stability of the specific motions of a heavy rigid body due to fast vertical vibrations of one of its points

“…При помощи методов теории возмущений ранее в работах [14,15] для случая произволь-ных периодических или условно-периодических быстрых вибраций точки подвеса получена приближенная система дифференциальных уравнений относительного (в системе коорди-нат OXY Z) движения тела типа уравнений Эйлера -Пуассона, в которой время исключено из слагаемых до порядка ε 2 включительно. В рассматриваемом здесь случае вертикальных гармонических вибраций эта приближенная автономная система уравнений может быть записана в канонической форме с функцией Гамильтона…”

“…Большое число ссылок можно найти в работах [7,13]. В недавних работах [14,15] получены приближенные автономные дифференциальные уравнения типа уравнений Эйлера -Пуассона, описывающие движение твердого тела с про-извольной геометрией масс в предположении, что одна из точек тела (точка подвеса) совер-шает произвольные периодические или условно периодические вибрации высокой частоты и малой амплитуды. В рамках этой приближенной системы был исследован ряд частных движений твердого тела.…”

“…В рамках этой приближенной системы был исследован ряд частных движений твердого тела. Для случая вертикальных вибраций точки подвеса решена задача о существовании и устойчивости относительных равновесий тела с произвольной геометри-ей масс, для которых прямая, содержащая центр масс и точку подвеса, вертикальна или наклонена к вертикали [15,16]. Исследовано влияние быстрых периодических и условно-периодических вибраций точки подвеса на существование и устойчивость известных част-ных движений волчка Лагранжа -стационарных вращений вокруг вертикали и регулярных прецессий [17].…”

On the Stability of Pendulum-type Motions in the Approximate Problem of Dynamics of a Lagrange Top with a Vibrating Suspension Point

“…It is well known [14][15][16] that, in the approximate problem of the motion of a heavy rigid body in the case of high-frequency vibrations of its suspension point, one should consider, along with the gravitational field, an additional "vibrational" potential field (due to a collection of forces of the moving space) which changes considerably the pattern of motions of the body.…”

“…The stability of a "sleeping" Lagrange top in the case of vertical harmonic oscillations of the suspension point with an arbitrary frequency and amplitude is investigated in [21]. In [22], within the framework of an approximate autonomous system obtained in [15,16], Markeev considered the case of high-frequency vibrations which admits two cyclic coordinates ("vibrational symmetry") in the system. He also solved the problem of existence and stability of a number of particular motions of the Lagrange top: stationary rotations about the vertical and inclined axes and regular precessions.…”