The ground state energy of the two dimensional Ginzburg–Landau functional with variable magnetic field

Attar, Kamel

doi:10.1016/j.anihpc.2013.12.002

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“…As such, the assumption on the magnetic field in Theorem 1.1 is significant when b(κ)κ ≤ H ≤ M κ 2 and M ∈ (0, c 0 ] is a constant. Note also that our theorem gives a bridge between the situations studied by Attar in [1,2] and Pan-Kwek in [20]. Remark 1.4.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 88%

“…The case of a vanishing exterior magnetic field. We now discuss the case when B 0 vanishes along a curve, first considered in [20] and then in [1]. We assume that Similarly, at every point x of B −1 0 (0) ∩ ∂Ω, a toy operator is defined on R 2 + parameterized (up to unitary equivalence) by the intensity of B 0 (x) and the angle θ(x) ∈ [0, π/2) between the unit normal of the boundary and ∇B 0 (x).…”

Section: 2mentioning

confidence: 99%

“…Hence the definition of H c 3 (κ) is clear in this case. Besides the aforementioned linearized calculations, the results of [1] are useful to justify the equality of the critical fields H c 2 (κ) and H c 3 (κ) as well as their definition in (2.13).…”

Section: 2mentioning

confidence: 99%

“…If H ≥ Cκ, then Theorem 1.4 of [1] asserts that any critical point (ψ, A) of (1.1) satisfies, lim κ→∞ Ω |ψ(x)| 4 dx = 0 , hence, loosely speaking, critical points are nearly normal solutions. However, repeating the proof given in [4,Section 10.4] and using the asymptotics of the first eigenvalue in (2.7), one can get that such critical points are indeed normal solutions.…”

Section: 2mentioning

confidence: 99%

“…Earlier results corresponding to vanishing magnetic fields have been obtained recently in [1,2]. The assumption on the strength of the magnetic field was H ≤ Cκ, where C is a constant.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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The Ginzburg–Landau Functional with Vanishing Magnetic Field

Helffer

Kachmar

2015

Arch Rational Mech Anal

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Abstract. We study the infimum of the Ginzburg-Landau functional in the case of a vanishing external magnetic field in a two dimensional simply connected domain. We obtain an energy asymptotics which is valid when the Ginzburg-Landau parameter is large and the strength of the external field is comparable with the third critical field. Compared with the known results when the external magnetic field does not vanish, we show in this regime a concentration of the energy near the zero set of the external magnetic field. Our results complete former results obtained by K. Attar and X-B. Pan-K-H. Kwek.

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Section: Introductionmentioning

confidence: 88%

Section: 2mentioning

confidence: 99%

Section: 2mentioning

confidence: 99%

Section: 2mentioning

confidence: 99%

“…Earlier results corresponding to vanishing magnetic fields have been obtained recently in [1,2]. The assumption on the strength of the magnetic field was H ≤ Cκ, where C is a constant.…”

Section: Introductionmentioning

confidence: 99%

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The Ginzburg–Landau Functional with Vanishing Magnetic Field

Helffer

Kachmar

2015

Arch Rational Mech Anal

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Eigenstates of the Neumann Magnetic Laplacian with Vanishing Magnetic Field

Miqueu

2018

Ann. Henri Poincaré

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RemerciementsEn premier lieu, je tiens à remercier très sincèrement mes directeurs de thèse, Monique Dauge et Nicolas Raymond ; le doctorat est une belle aventure que sans eux je n'aurais pas pu vivre. Je les remercie pour toute l'énergie qu'ils ont mis dans cet encadrement, depuis la naissance du projet de thèse jusqu'à aujourd'hui. Leur présence rassurante, leur disponibilité et leur implication dans les phases de rédaction, de préparation d'exposés ou de soutenance m'ont été très précieuses. Le dynamisme de Monique et son regard avisé sur le numérique ainsi que la bonne humeur quotidienne de Nicolas et sa philosophie des mathématiques ont animé nos discussions ; les connaissances qu'ils m'ont transmises et ce que j'ai pu partager avec eux ont fait que ces trois années ont été pour moi très agréables et enrichissantes. Je leur suis également très reconnaissant d'être resté à mon écoute et d'avoir toujours agi dans mon intérêt. Grâce à eux, j'ai pu durant ma thèse aller travailler à l'Université d'Aarhus. Je savoure aujourd'hui pleinement la chance que j'ai de pouvoir y retourner. Tak ! Je remercie vivement Jean-Marc Bouclet et Hynek Kovařík d'avoir accepté de rapporter ma thèse. Je leur suis extrêmement reconnaissant du temps et du soin qu'ils ont consacré à cette tâche. Je remercie également Stéphane Nonnenmacher, Stephan De Bièvre, Françoise Truc, Christophe Cheverry et Florian Méhats qui me font le plaisir et l'honneur de venir compléter mon jury. Je souhaite également remercier tous les mathématiciens que j'ai rencontré en conférences et avec qui j'ai pu interagir. Je pense bien sûr à Bernard Helffer, pour toutes ses remarques et ses conseils avisés, mais aussi à Virginie Bonnaillie-Noël ainsi qu'à Éric Soccorsi, Philippe Briet et Julien Royer. J'ai eu le privilège -au cours de ma deuxième année de thèse -de travailler avec Søren Fournais. Je le remercie pour son accueil chaleureux, sa gentillesse et son entière disponibilité. Je suis vraiment très heureux de pouvoir commencer une collaboration avec lui. Le hasard des rencontres fait souvent bien les choses ; aurais-je eu l'idée d'aller discuter avec Monique si son thésard -qui allait soutenir -ne m'en avait pas parlé ? Je tiens à saluer Nicolas Popoff et aussi Thomas Ourmières. Je les remercie tous les deux pour les discussions que j'ai pu avoir avec eux, leurs conseils, et leur soutien.J'adresse un grand merci à Yvon Lafranche pour le temps qu'il a consacré aux simulations numériques de ma thèse. Sans sa patience et son investissement je n'aurais pas été capable de mener a bien cette partie de mon travail. Merci aussi à Oliver Garo pour l'aide qu'il a pu m'apporter a chaque petit problème informatique.J'ai pu trouver à l'IRMAR un excellent cadre de travail. Je remercie toutes les équipes (en particulier les équipes d'équations aux dérivées partielles et d'analyse numérique) de rendre cet espace aussi convivial. Un grand merci aussi à toute la bande des doctorants et post-doctorants que j'ai côtoyé. Ils ont grandement contribué à rendre ces trois années de...

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Mixed Normal-Superconducting States in the Presence of Strong Electric Currents

Almog

Helffer

Pan

2016

Arch Rational Mech Anal

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We study the Ginzburg-Landau equations in the presence of large electric currents, that are smaller than the critical current where the normal state losses its stability. For steady-state solutions in the large κ limit, we prove that the superconductivity order parameter is exponentially small in a significant part of the domain, and small in the rest of it. Similar results are obtained for the timedependent problem, in continuation of the paper by the two first authors [3]. We conclude by obtaining some weaker results, albeit similar, for steady-state solutions in the large domain limit.

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The ground state energy of the two dimensional Ginzburg–Landau functional with variable magnetic field

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The Ginzburg–Landau Functional with Vanishing Magnetic Field

The Ginzburg–Landau Functional with Vanishing Magnetic Field

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