The Hausdorff dimensions of some continued fraction cantor sets

A strengthening of a theorem of Bourgain and Kontorovich

“…Он, в частности, доказал [7] , что для простого d существует натуральное число b < d, такое что b d ∈ R A для алфавита A вида (1.2) при A log d. Пусть δ A хаусдорфова размерность множества бесконечных цепных дробей с непол-ными частными из произвольного конечного алфавита A. Бургейн и Конторович в 2011 году доказали, в частности, следующие две теоремы. Результаты Хенсли [2] дают веские основания предполагать, что неравенству (1.3) удовлетворяет алфавит (1.2) при A = 50 (но не A = 34 ввиду результатов Дженкин-сона [3] ).…”

“…По произвольно-му достаточно большому числу N и по малому параметру 0 ∈ 0, 1 2500 в [10] была построена конечная последовательность 2) где N J+1 = N, J log log N, …”

“…Всюду в данном параграфе считаем, что числа M (1) , M (2) , M (4) , удовлетворяющие условиям теоремы 6.1, уже каким-либо образом выбраны, так что имеет место разло-жение ансамбля (6.17) (со свойствами (6.18) (6.23)). Именно вид такого разложения отличает данный параграф от аналогичного ему [10, параграф 13] с тем же названием.…”

“…Отсюда следует, что для элементов множества M(g 3 ) из равенства x 1 = y 1 следуют соотношения: a (1) = a (2) в виду сравнения в (8.15) при i = 1, а равенство l (1) = l (2) в виду неравенства (8.14) при i = 1 и сравнения в (7.24). (8.14).…”

“…и найдется четверка g (1) , g (2) , Θ (1) , Θ (2) ∈ M(g 3 ), (9 Кроме того, длины цепных дробей (9.6) совпадают по построению ансамбля. Следова-тельно, выполнены условия леммы 5.1, применяя которую, получаем: С другой стороны, применяя при i = 1, 2 неравенство (8.14), получаем: (напомним, что |l| (1) > 0 ввиду (9.4)), что противоречит неравенству (9.9).…”