The Mathematical Work with the Derivative of a Function: Teachers’ Practices with the Idea of “Generic”

Abstract

This paper investigates the introduction of the derivative notion and, specifically, the introduction of the derivative function, as a significant moment in the development of mathematical work on functions. In particular, we analyse the process of genericization that two Italian teachers conducted with their grade 13 students, in order to make them shift from the derivative at a specific point x 0 to the derivative as a global function in the x variable. Specifically, we analyse the role of the teacher in the semiotic genesis of this process and investigate the role of semiotic resources therein. As a result, we highlight the importance of conducting carefully this shift from the pointwise x 0 sign to the global x sign, in order to gain an actual shift in the perceived properties of the derivative function, which depends on the x sign as a variable. In conclusion, we connect our findings to the model of the Mathematical Working Space of functions, with particular regard to the "visualisation" process and the semiotic axis.Keywords: Derivative Function. Generic. Perspectives on Functions. Calculus. ResumenEn este artículo se estudia la introducción de la noción de derivada, especialmente de la función derivada, como un momento significativo en el desarrollo del trabajo matemático relativo a las funciones. Particularmente, se analiza el procesos de genericización que dos profesores italianos conducen con sus estudiantes de último año de liceo, con el objetivo de de hacerlos pasar de la derivada en un punto específico x 0 a la derivada como una función global de la variable x. Específicamente, se analiza el rol del profesor en le génesis semiótica del proceso y se investiga el rol de los recursos semióticos implicados. Como resultado, se resalta la importancia de conducir cuidadosamente el paso desde el símbolo puntual x 0 al símbolo global x, para ganar un cambio real en las propiedades percibidas de la función derivada, que depende del símbolo x como variable. En conclusión, conectamos los resultados al modelo del espacio de trabajo matemático de funciones, con un particular énfasis en el proceso de "visualización" y el eje semiótico.Palabras claves: Función Derivada. Generico. Perspectivas en funciones. Cálculo.

Recursos Semióticos em Atividades de Modelagem Matemática

“…Várias pesquisas têm se endereçado às atividades semióticas dos alunos no âmbito de aulas de Matemática (Panero, Arzarello & Sabena, 2016;Almeida & Silva, 2017). Resultados indicam que a aprendizagem, quando associada à produção e ação de diferentes signos, pode se constituir relativamente a uma variedade de representações e significados do objeto matemático.…”

“…Neste sentido, os recursos semióticos são também contextuais, sinalizando a pertinência de um espaço pessoal dos indivíduos num meio social. Panero et al (2016) neste contexto, argumentam que quando dois ou mais recursos semióticos convergem para uma mesma função no interior de uma atividade, o uso conjunto destes recursos favorece a ação comunicativa.…”

“…Estudos relativos à Semiótica na Educação Matemática têm sido recorrentes nas últimas décadas levando em consideração diferentes elementos relativos ao ensino e à aprendizagem da matemática e em diferentes contextos educacionais (Arzarello, 2006, Mildenhall, 2013, Panero, Arzarello, & Sabena, 2016, Almeida & Silva, 2018, Radford, Schubring & Seeger, 2008Almeida & Silva, 2017, Almeida & Silva, 2018aSteinbring, 2006).…”

“…Todavia, o que tem sido investigado nas últimas décadas em relação aos recursos semióticos é que, para além de considerálos isoladamente nas atividades da sala de aula, a articulação de diferentes recursos bem como sua complementaridade para a comunicação na sala de aula e para a aprendizagem dos alunos deve ser favorecida nas atividades na sala de aula (Arzarello, 2006;Mavers, 2004;Panero, Arzarello, & Sabena, 2016;Mildenhall, 2013).…”

Comparing the Didactic-Mathematical Knowledge of Derivative of In-Service and Pre-service Teachers

“…According to Hatisaru and Erbas (2017), the many meanings and representations of the function, concepts make it difficult for teachers to deal with them all and establish relations among meanings, and it comes even more complicated when the derivative is included, the more the meanings, the more complex for teachers to deal with the function topics. Panero, Arzarello, and Sabena (2016), report that "…the global perspective on the derivative function might be enhanced, but it is necessary to establish carefully the relationships between the graph and the semiotic resources (i.e., symbols and speech) through which the derivative function has been introduced, strengthening the meaning of the used signs and variables" (p.282).…”