Théories d'algèbres de Boole munies d'idéaux distingués. I: Théories élémentaires

Abstract

Une conséquence de la classification des théories complètes d'algèbres de Boole par Tarski [5] est que la théorie élémentaire d'une algèbre de Boole A est déterminée par le type d'isomorphisme du treillis de ses idéaux définissables et, pour chacun de ces idéaux, par le nombre d'atomes du quotient de A par cet idéal lorsque ce nombre est fini. Une remarque analogue peut être faite à propos des cas particuliers d'algèbres de Boole munies d'un idéal distingué étudiés par Ershov [1] et par Jurie et Touraille [3]; dans to us ces cas, c'est la simplicité des treillis possibles qui permet la classification des théories complètes. Le résultat principal de cet article est que, dans le cas général d'une algèbre de Boole munie d'une famille quelconque d'idéaux distingués, la théorie d'un modèle peut encore être caractérisée grâce à une structure algébrique sur l'ensemble de ses idéaux définissables. Il s'agit d'une structure d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire sa définie par sa(K) = {a: a/K est sans atome}, et cette structure s'avère être engendrée par les idéaux distingués du modèle. La méthode utilisée est l'élimination directe des quantificateurs, par réductions successives des formules. Elle nécessite des propriétés algébriques et topologiques qui sont données aux §§1 et 2: on introduit au §1 la notion d'algèbre de Heyting étoilée, c'est-à-dire d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire * vérifiant des égalités qui permettent de rendre compte, d'une certaine façon, de la dérivation de Cantor-Bendixon; le §2 est consacré à des propriétés topologiques qui, dans le cas de l'espace de Stone d'une algèbre de Boole A, permettent d'éclaircir les relations possibles entre les atomes des quotients de A par des idéaux différents.

On Vaught’s Conjecture and finitely valued MV algebras

“…We call D‐system a family S = ( I d ) d ∈ D such that I 1 is a Boolean algebra, and I d is an ideal of I 1 for every d ∈ D , d > 1. These objects have been studied under various names, cf., e.g., 12, 18 and 19.…”

“…The classification of Boolean algebras up to elementary equivalence was achieved by Tarski, who gives explicit elementary invariants for each possible first order theory. Starting from this, several papers like 12, 16, 18 and 19 focus on Boolean algebras with additional structure, more precisely, Boolean algebras with a finite set of unary predicates, to be interpreted as ideals. It is interesting to note that, although the theory of Boolean algebras with one unary predicate (to be interpreted as an arbitrary subset) is undecidable, 16 shows that the theory of Boolean algebras with several unary predicates, all of which interpreted as ideals, is decidable.…”

“…It is possible to assign elementary invariants to these objects, in terms of definable ideals and their natural Heyting algebra structure. While on one ideal the possible structure is quite simple, on several ideals one needs a new idea: this is why 18 and 19 enrich the Heyting algebra structure of definable ideals with a new unary operation, which they call \documentclass{article}\usepackage{amssymb}\begin{document}\pagestyle{empty}$\rm sa$\end{document} (from the French expression “sans atomes”). The idea is that, given an ideal I of a Boolean algebra B , sa( I ) is the set of all elements x of B , such that the class of x modulo I is atomless in the quotient Boolean algebra B / I .…”

“…From 18 it results that the ideals I d generate Def( S ) (as a sa‐HA), so the latter is a D ‐generated sa‐HA, and there is a function mapping every D ‐system to a D ‐generated sa‐HA.…”

“…Then, in analogy with 4 and 6, we describe an explicit categorial equivalence between locally finite varieties of MV algebras and certain categories of Boolean algebras with ideals. This equivalence allows us to use the theory of Boolean algebras with ideals developed in 18 and 19.…”