Topological hypercovers and 1 -realizations

Abstract

We show that if U * is a hypercover of a topological space X then the natural map hocolim U * →X is a weak equivalence. This fact is used to construct topological realization functors for the A 1 -homotopy theory of schemes over real and complex fields. In an appendix, we also prove a theorem about computing homotopy colimits of spaces that are not cofibrant.

Hypercovers and simplicial presheaves

“…One application of the results on hypercovers is to realization functors from the homotopy theory of schemes-this is treated in the papers [DI1,Is]. In Section 8 we give a few more applications.…”

“…The above theorem is crucial to the construction ofétale realization functors for A 1 -homotopy theory [Is], as well as the analogous question about topological realization functors [DI1].…”

Topological Complexity of the Relative Closure of a Semi-Pfaffian Couple

“…It seems it first appeared in [5] in the case of proper maps, and it has been rediscovered many times since. The reader can find proofs in [14] for the closed case and in [2] or [6] for the locally split case. Example 1.19.…”

Catégorie homotopique stable d’un site suspendu avec intervalle

“…Ensuite, le fait que le foncteur oub soit additif résulte simplement du fait qu'il commute aux produits (finis). (11) , essentiellement surjectif et plein. De plus, si E est un objet de SH T naïve (S , I), la catégorie des relèvements de E dans SH T (S , I) est équivalente à la catégorie ponctuelle (autrement dit, le relèvement est bien défini à isomorphisme unique près) si et seulement si…”

“…[10] et [11]). Enfin, dans la section 6, on propose une définition d'une variante « naïve » de la catégorie SH T (S , I) : admettant une description très simple à partie de la catégorie homotopique pointée H • (S , I), cette catégorie s'avère être équivalente au quotient de SH T (S , I) par l'idéal de morphismes (de carré nul) constitué par les morphismes dits « stablement fantômes ».…”