Topologische Ovale

Abstract

Der Ausgangspunkt ffir die hier dargestellten Untersuchungen war die Frage, ob es lokalkompakte topologische Laguerreebenen gibt, in denen die topologische Dimension des Punktraums gr613er ist als vier. Irn Zusammenhang damit galt es zu kl~iren, ob es in kompakten topologischen projektiven Ebenen einer Dimension gr6Ber als vier Ovalelgeben kann, die in topologischer Hinsicht gutartig sind. In dieser Arbeit (3.5,3.6)werden wir beide Fragen verneinend entscheiden (wobei wir allerdings die betrachteten Ebenen als endlichdimensional voraussetzen); dabei geniigt als topologische Voraussetzung an die Ovale ihre Abgeschlossenheit im Punktraum.Dies zeigt ein weiteres Mal die einschneidende Wirkung topologischer Annahmen, da in jeder unendlichen projektiven Ebene Ovale schlechthin zu finden sind: nach einem Verfahren von Mazurkiewicz [29] kann man zum Beispiel eine 2-Kurve konstruieren und diese dann um einen Punkt vermindern, um ein Oval zu erhalten; siehe auch [2], [15].In projektiven Riiumen liegen ~ihnliche Verh~iltnisse vor: Aus unseren Aussagen fiber Ovale k6nnen wir folgern, dab in den projektiven R/iumen h6herer Dimension ( >1 3) fiber den komplexen Zahlen oder den Quaternionen keine abgeschlossenen Ovoide existieren (3.4). Weiter ergibt sich, dab der Punktraum einer endlichdimensionalen lokalkompakten zusammenh~ingen-den M6biusebene nut zweidimensional sein kann (3.2); unter der zus~itzlichen Voraussetzung, dab die Kreise lokal euklidisch sind, ist dies schon lfmger bekannt [18].Grundlage ffir diese Reihe von negativen Resultaten sind verschiedene positive Ergebnisse fiber abgeschlossene Ovale in endlichdimensionalen kompakten zusammenh~ingenden projektiven Ebenen: Die Abgeschlossenheit eines Ovals O impliziert, dab es ein topologisches Oval ist in dem Sinne, dab die Menge der Schnittpunkte einer Geraden L mit O stetig von L abhgngt, auch falls L sich gegen eine Tangente bewegt (2.

Invertible Sharplyn-Transitive Sets

“…The incidence structure defined in this way is called the ambient of G. If G comes from an oval O in a projective plane P, then this ambient clearly corresponds to the Figure 2 geometry of all lines in P that intersect O. By [BHL,Proof of Korollar 3.8], every topological oval in a flat projective plane gives rise to a real abstract oval. Two abstract ovals G and H of permutations acting on the set S are isomorphic if and only if there is a permutation h of S such that h &1 Hh=G.…”

A Flat Laguerre Plane of Kleinewillinghöfer Type V

“…This group fixes the line W at infinity, the ovalC 1 induced by the circle C 1 and the point w 0 at infinity of the line that comes from C 0 . SinceC 1 is a topological oval in P p 0 , there are precisely two tangents toC 1 Let D 1 be the circle through p 1 that touches C 0 at q 0 . If, for example, C 1 is above…”

The elation group of a 4-dimensional Laguerre plane

“…We denote the projective closure of dp by ~p and, for brevity, we call ~p the derived projective plane at p of s If the point set P is locally compact, connected, and of finite topological dimension, then every derived affine plane is a topological affine plane [6], [7] and similarly, every derived projective plane is a compact connected finite-dimensional projective plane. From general results on topological compact connected finite-dimensional projective planes, it was shown in [2] that in this situation the dimension of P can only be either 2 or 4. For brevity such planes are called 2-dimensional Laguerre planes (dim P = 2) or 4-dimensional Laguerre planes (dim P = 4) respectively.…”

“…Since there are no exterior lines to a topological oval in a 4-dimensional projective plane (see [2], 3.7.b), any two circle of s intersect in at least one point.…”