Translation-invariant and periodic Gibbs measures for the Potts model on a Cayley tree

Abstract

Для ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями изучены трансляционноинвариантные меры Гиббса на дереве Кэли порядка k = 3 и даны явные формулы для трансляционно-инвариантных мер Гиббса. Изучаются периодические меры Гиббса для антиферромагнитной модели Поттса с q−состояниями на дереве Кэли порядка k. При этом улучшены некоторые результаты из работы [10]: на некоторых инвариантах дано точное количество периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка k ≥ 3 с периодом два. Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, модель Поттса, мера Гиббса, трансляционноинвариантные меры, периодические меры. 1. Введение Известно, что каждой предельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Поэтому в теории мер Гиббса одной из важных задач является существование фазового перехода, т.е. когда физическая система меняет свое состояние при изменении температуры. Это происходит, когда мера Гиббса не единственна. При этом температура, при которой меняется состояние физической системы, обычно называется критической ( [1]-[3]). В [4] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры T c такой, что при T < T c существуют три трансляционно-инвариантных и несчетное число не трансляционноинвариантных мер Гиббса. В работе [5] обобщены результаты работы [4] для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного) порядка. В работе [6] показано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [7] посвящена модели Поттса со счетным числом состояний и c ненулевым внешним полем и доказано, что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. В работе [8] изучены периодические меры Гиббса и при некоторых условиях доказано, что все периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными; найдены условия, при которых модель Поттса с ненулевым внешним полем имеет периодические меры Гиббса. Работа [9] является продолжением работы [8]. Доказана существование не менее трех периодических мер Гиббса с периодом два на дереве Кэли порядка три и четыре для модели Поттса с тремя состояниями и с нулевым внешним полем. А в работе [10] 1 Институт математики, ул. Дурмон йули, 29,

Модель Поттса На Дереве Кэли: Новый Класс Гиббсовских Мер

“…Трансляционно-инвариантные меры. Трансляционно-инвариантные меры (см., например, [8], [9]) соответствуют h x ≡ h = (h 1 , . .…”

Трансляционная Инвариантность Периодических Мер Гиббса Для Модели Поттса На Дереве Кэли

“…В работе [12] дано полное описание трансляционноинвариантных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с q-состояниями и показано, что их количество равно 2 q − 1, а в работе [13] изучена задача крайности этих мер. В работе [14] улучшены результаты из [11] и даны явные формулы для трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли порядка k = 3.…”