No abstract

В данной статье изучается крайность трансляционно-инвариантной меры Гиббса для Hard-Core (HC) модели на дереве Кэли. Известно, что трансляционно-инвариантная мера для этой модели единственна. Дано новое доказательство этого утверждения и найдены области крайности этой меры на дереве Кэли.Ключевые слова: дерево Кэли, допустимая конфигурация, НС-модель, мера Гиббса, трансляционно-инвариантные меры, крайность меры.

Изучается модель "hard core" на дереве Кэли. В случае нормального делителя индекса 4 при некоторых условиях на параметры показана единственность слабо периодических мер Гиббса. Кроме того, доказано существование слабо периодических (непериодических) мер Гиббса, отличных от ранее известных.

Для ферромагнитной модели Поттса с тремя состояниями изучены трансляционноинвариантные меры Гиббса на дереве Кэли порядка k = 3 и даны явные формулы для трансляционно-инвариантных мер Гиббса. Изучаются периодические меры Гиббса для антиферромагнитной модели Поттса с q−состояниями на дереве Кэли порядка k. При этом улучшены некоторые результаты из работы [10]: на некоторых инвариантах дано точное количество периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка k ≥ 3 с периодом два. Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, модель Поттса, мера Гиббса, трансляционноинвариантные меры, периодические меры. 1. Введение Известно, что каждой предельной мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы. Поэтому в теории мер Гиббса одной из важных задач является существование фазового перехода, т.е. когда физическая система меняет свое состояние при изменении температуры. Это происходит, когда мера Гиббса не единственна. При этом температура, при которой меняется состояние физической системы, обычно называется критической ( [1]-[3]). В [4] изучена ферромагнитная модель Поттса с тремя состояниями на дереве Кэли второго порядка и показано существование критической температуры T c такой, что при T < T c существуют три трансляционно-инвариантных и несчетное число не трансляционноинвариантных мер Гиббса. В работе [5] обобщены результаты работы [4] для модели Поттса с конечным числом состояний на дереве Кэли произвольного (конечного) порядка. В работе [6] показано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [7] посвящена модели Поттса со счетным числом состояний и c ненулевым внешним полем и доказано, что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. В работе [8] изучены периодические меры Гиббса и при некоторых условиях доказано, что все периодические меры Гиббса являются трансляционно-инвариантными; найдены условия, при которых модель Поттса с ненулевым внешним полем имеет периодические меры Гиббса. Работа [9] является продолжением работы [8]. Доказана существование не менее трех периодических мер Гиббса с периодом два на дереве Кэли порядка три и четыре для модели Поттса с тремя состояниями и с нулевым внешним полем. А в работе [10] 1 Институт математики, ул. Дурмон йули, 29,

АннотацияВ этой работе рассмотрены плодородные Hard-Core (HC) модели с параметром ак-тивности λ > 0 и тремя состояниями на дереве Кэли порядка три. Известно, что су-ществуют четыре типа таких моделей, для двух из которых при λ > 0 трансляционно-инвариантная мера Гиббса единственна, а для двух других моделей найдена λ cr такая, что при λ > λ cr существуют только три трансляционно-инвариантные HC-меры Гиббса, а при λ ≤ λ cr -только одна трансляционно-инвариантная HC-мера Гиббса.Ключевые слова: дерево Кэли, конфигурация, НС-модель, мера Гиббса, трансляционно-инвариантные меры. ВведениеОписание всех предельных мер Гиббса, в частности, трансляционно-инвариантных мер Гиббса, для данного гамильтониана является одним из основных задач теории гиббсовских мер. Определение меры Гиббса и понятия, связанные с этой теорией, вводятся стандартным образом (см. напримерИзвестно, что для модели Изинга на дереве Кэли количество трансляционно-инвариантных гиббсовских мер, зависящихся от температуры, может быть одно или три. В работе [4] дока-зано, что на дереве Кэли трансляционно-инвариантная мера Гиббса антиферромагнитной модели Поттса с внешним полем единственна. Работа [5] посвящена модели Поттса со счет-ным числом состояний и c ненулевым внешним полем на дереве Кэли. Доказано, что эта модель имеет единственную трансляционно-инвариантную меру Гиббса. В работе [6] да-но полное описание трансляционно-инвариантных мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса с q−состояниями и показано, что их количество равно 2 q − 1.В работе [7] изучена HC (Hard Core)-модель на дереве Кэли и доказано, что транцляционно-инвариантная мера Гиббса для этой модели единственна. Кроме того, при некоторых усло-виях на параметры НС-модели доказана неединственность периодических мер Гиббса с периодом два. В работе [8] изучены слабо периодические меры Гиббса для HC-модели. Показана единственность (трансляционно-инвариантность) слабо периодической меры для HC-модели.В работах [10],[11] были изучены гиббсовские меры для (hard core) HC-модели с тремя состояниями на дереве Кэли порядка k ≥ 1. В работе [9] выделены плодородные HC мо-дели, соответствующие графам "петля" , "свисток" , "жезл" и "ключ". В работе [10] были 1 Институт математики, ул. Дурмон йули, 29,