Typical orbits of quadratic polynomials with a neutral fixed point: Non-Brjuno type

Abstract

We describe the topological behavior of typical orbits of complex quadratic polynomials Pα(z) = e 2παi z + z 2 , with α of high return type. Here we prove that for such Brjuno values of α the closure of the critical orbit, which is the measure theoretic attractor of the map, has zero area. Then we show that the limit set of the orbit of a typical point in the Julia set of Pα is equal to the closure of the critical orbit. Our method is based on the near parabolic renormalization of Inou-Shishikura, and a uniform optimal estimate on the derivative of the Fatou coordinate that we prove here.

A brief introduction to one-dimensional complex dynamics

“…Buff 和 Chéritat 的证明本质地用到了 Inou 和 Shishikura [379] 发展起来的近抛物重整理论. 该理 论可以很好地控制二次映射的临界轨道 (参见文献 [150,174]). 同样基于该理论 (以及文献 [29] 中的结 果), Avila 和 Lyubich [29] 证明了某些 (具有有界组合的无穷 primitive 可重整) Feigenbaum 二次多项式 的 Julia 集具有正面积且是局部连通的.…”

“…特别地, Douady 猜想对任意单临界多项式成立. 除了文献 [174], 这些结果的证明本质上依 赖于 Yoccoz 的结果和多复变函数论. 目前, 即使是对三次多项式 z → e 2πiα z + b 2 z 2 + z 3 、正弦函数 z → e 2πiα sin z 和指数映射 z → e 2πiα (e z − 1), Douady 猜想仍未解决.…”

“…在进一步假设 Julia 集连通时, 一定有一条外射线既聚集到临界 值也聚集到 Cremer 点. 特别地, 这蕴涵了 Julia 集非局部连通并且加强了 Douady 和 Sullivan 的结论 [175,688]), 证明了其 Lebesgue 测度为 0 [174] , 且当临界点不在 Siegel 盘边界上 时其 Hausdorff 维数等于 2 [177] .…”

“…界轨道, 证明了存在具有正面积的二次多项式 Julia 集 [150] . 基于 Inou-Shishikura 的理论, Cheraghi 发 展了关于近抛物重整的一系列精细分析技术 (参见文献 [173,174]). 基于此, 更多的关于二次多项式动 力系统方面的进展包括: 具有正面积的 Feigenbaum 二次 Julia 集的存在性 [31] 、Marmi-Moussa-Yoccoz 猜想的部分证明 [176] 、某些无穷 satellite 可重整参数处的 MLC 猜想证明 [178] 、含无理中性不动点的 统计性质研究 [27] 、部分无理中性吸引子的拓扑结构 48) [175,688] 和 Hausdorff 维数的刻画 [177] .…”