Unités cyclotomiques, unités semi-locales et ${\Bbb Z}_\ell$-extensions. II

Formules de classes pour les corps abéliens réels

“…(iv) Cette stabilisation asymptotique des cKn constitue un ingrédient essentiel pour montrer, comme le fait par exemple Villemot [V] [Gi2] ou [V] [MW], voir aussi [Wil] et [Greil], ainsi que les calculs de [Gra2] (2) (ii) Les ont même série caractéristique.…”

“…-Ces résultats sont "bien connus", et dûs essentiellement à Iwasawa [I] dans le cas cyclotomique, Gillard [Gi2] dans le cas abélien semi-simple, Villemot [V] dans le cas abélien général. Voir aussi [Greil], [T].…”

On the Iwasawa 𝜆-invariants of real abelian fields

“…When the order of χ is not divisible by p, this is the theorem of Iwasawa and Gillard ([11] and [6]). …”

“…Next we recall results on the structures of the Λ-modules U χ and U χ /C χ in [11], [6] and [18] (Fact 2), which are essentially used in the proof of our main theorems. (C χ is a group of cyclotomic units defined below.)…”

“…In their proof, Ichimura and Sumida ( [8], [10]) essentially used a theorem of Iwasawa [11] and Gillard [6] which describes the Galois module structure of "semi-local units modulo 3700 TAKAE TSUJI cyclotomic units" U χ /C χ in terms of the p-adic L-function L p (s, χ). Iwasawa and Gillard dealt with only the case where the order of χ is not divisible by p, and this is a main reason why Ichimura and Sumida imposed the same assumption.…”