Verallgemeinerung eines Satzes von DOBRUSCHIN. VI

Liemant, Alfred; Matthes, Klaus

doi:10.1002/mana.19770800102

Math. Nachr.

1977

DOI: 10.1002/mana.19770800102

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Verallgemeinerung eines Satzes von DOBRUSCHIN. VI

Alfred Liemant

Klaus Matthes²

Abstract: Die vorliegende Note befaSt sich ebenso wie [4] mit notwendigen Bedingungen fur die in [2] formulierte Stabilitiitseigenschaft (e). Im Unterschied zu [a] werden liier beliebige dem zweiten Abzihlbarkeitsaxiom genugende lokalkompakte, je-doc11 nicht kompakte, abelsche topologische Gruppen G zugelassen. Unser Hauptergebnis lautet folgendermal3en :

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Kritische räumlich homogene Verzweigungsprozesse mit abzählbarer Typenmenge

Warmuth¹

1978

Mathematische Nachrichten

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In Auszugen vorgetragen auf der ,,1. Sitzung zur Stochastik" am 23. 10. 1975 in Sellin unter dem Vorsitz von Dr. J. MECKE (Jena) (Eingegangen am 17,3.1976) EinfiihrungDie Behandlung stochastischer dynamischer Verzweigungsmodelle, die ihren dnfang mit, der Einfuhrung der sogenannten GALTON-%' ATSON-Prozesse nahm, ist auch heute ein sehr aktueller Gegenstand wahrscheinlichkeitstheoretischer Forschung.In dieser Arbeit untersuchen wir die Evolution von Partikelensembles auf einer lokalkompakten AsELschen HAUSDORFFSChen topologischen Gruppe G, die dem zweiten AbzLhlbarkeitsaxiom genugt und selbst nicht kompakt ist (z. B. C : = R8). Es wird angenommen, del3 die Partikel von unterschiedlichem Typ sind, die Menge K der vorkommenden Typen sol1 nichtleer und hochstens abzahlbar sein. Im Unterschied zur klassischen Theorie der Verzweigungc;prozesse beriicksichtigen wir nicht nur die Anzahl der Partikel, sondern auch die raumliche Lage des betrachteten Partikelensembles.Jedes Partikel erzeugt unabhiingig von seiner Vorgeschichte und den anderen Partikeln eine zufgllige endliche Nachkommenschaft (lost einen Schauer aus). Das Verteilungsgesetz der Nachkommenschaft hgngt vom Typ des Partikels ab.Diese Verzweigung erfolgt nur in diskreten Zeitpunkten t = 1 , 2 , . . . und mird als zeitlich und r¨ich homogen vorausgesetzt. Unter diesen Voraussetzungen mird der Verzweigungsmechaniamus durch eine Familie W = ( W(k))kclY charakterisiert, wobei W,,, die Verteilung der unmittelbaren Nachkommenschaft eines im Nullelement von G befindlichen Partikels vom Typ k ist. Auf diese Weise entsteht aus einer (deterministischen oder zufiilligen) Ausgangspopulation 9, eine Folge von Generationen en, = 1, 2, . . . Interessiert man sich lediglich fur die Gesamtanzahl der Partikel (typenweise), so entspricht unter gewissen zusiitzlichen Bedingungen an den Verzweigungsmechanismus der Folge {@n}n=o,l,.,. ein GALTONWATsoN-ProzeB I n Anlehnung an die vorangegangenen Untersuchungen von DEBES, Do-BRUSCHIK, DOOB, KERSTAN, LIEMANT, MATTHES, PREEN, RODER, STONE, THEDBEN wird in dieser Arbeit fur bestimmte Verzweigungsmeehanismen W = = ( W& die Klasse der sogenannten schaiierinvarianten Verteilungsgesetze =o,i,... mit hochstens abzahlbar vielen Typen. 1) Diese Arbeit stellt eine iiberarbeitete Fassung Ton WARMUTH [32] dar.

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Kritische räumlich homogene Verzweigungsprozesse mit abzählbarer Typenmenge

Warmuth¹

1978

Mathematische Nachrichten

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Structure and Convergence Theorems for Critical Branching Processes with General Phase Space, II

Liemant¹,

Matthes²

1983

Math. Nachr.

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Systems of independent Markov chains

Liggett

Port

1988

Stochastic Processes and their Applications

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Verallgemeinerung eines Satzes von DOBRUSCHIN. VI

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Kritische räumlich homogene Verzweigungsprozesse mit abzählbarer Typenmenge

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Structure and Convergence Theorems for Critical Branching Processes with General Phase Space, II

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