Versions of Schwarz's Lemma for Condenser Capacity and Inner Radius

Abstract

Abstract. We prove variants of Schwarz's lemma involving monotonicity properties of condenser capacity and inner radius. Also, we examine when a similar monotonicity property holds for the hyperbolic metric.

Conformal mapping, convexity and total absolute curvature

“…Geometric quantities are used in order to measure the size of the image f (rD) or f (C r ), compared to the size of rD or C r , respectively. Such geometric quantities are area, length, logarithmic capacity, diameter, inner radius, etc., as we can see in [4], [5], [7], and [8].…”

Θεωρήματα μονοτονίας και αυξητικότητας-παραλλαγές του λήμματος Schwarz για ολόμορφες συναρτήσεις

“…Πράγματι, ο G. Julia [31], απέδειξε ένα θεώρημα μονοτονίας που έχει να κάνει με ολοκληρώματα. Πρόσφατα, οι Μπετσάκος και Πουλιάσης [11] μελέτησαν τη μονοτονία συναρτήσεων που εμπλέκουν τα δυναμοθεωρητικά μεγέθη της εσωτερικής ακτίνας (inner radius) και χωρητικότητας πυκνωτών. Για να παρουσιάσουμε τα αποτελέσματα αυτά, θα χρειαστούμε κάποιες βασικές έννοιες.…”

“…Για άλλα μονοτονιακά θεωρήματα, παραπέμπουμε στο [11] και στις αναφορές που περιλαμβάνει καθώς και στην §1.2. της Εισαγωγής.…”

“…Υπό αυτή την οπτική το αντιμετώπισαν πολλοί ερευνητές; βλ. για παράδειγμα, [5], [9], [10], [11], [13], [18], [22], [25, Κεφάλαιο 4], [48], [51]. Αναφέρουμε μερικά σχετικά αποτελέσματα:…”

“…και καθώς η f είναι ελλειπτικά απλή, στο f (D) δεν περιέχεται το σύνολο (c) Betsakos and Pouliasis [11] studied the monotonicity of functions, involving the geometric quantities of inner radius and condenser's capacity (d) Betsakos proved in [10], [8] similar monotonicity theorems for elliptically schlicht functions of the unit disc and quasiregular maps of the unit ball of R n .…”