Yang-Baxter algebras, convolution algebras, and Grassmannians

Abstract

Статья посвящена новому, активно развивающемуся направлению современной математики - изучению связи квантовых интегрируемых моделей и исчисления Шуберта для колчанных многообразий. В статье предлагается геометрическая конструкция решений уравнения Янга-Бакстера и алгебр, связанных с ними, которые называются алгебрами Янга-Бакстера. Эти алгебры играют центральную роль в квантовых интегрируемых системах и точно решаемых (интегрируемых) решеточных моделях статистической физики. Мы покажем на примере классической геометрии многообразий Грассмана, как появляется указанная выше связь. Конкретно, мы отождествляем алгебру конволюций, возникающую в эквивариантном исчислении Шуберта, с алгеброй Янга-Бакстера вырождения асимметричной шестивершинной модели, так называемой пятивершинной модели. Мы покажем также, как, используя наши методы, можно построить действие факторов универсальной обертывающей алгебры для алгебры токов $\mathfrak{sl}_2[t]$ (так называемые алгебры типа Шура) на тензорных произведениях ее представлений вычисления $\mathbb{C}^2[t]$. Наконец, мы связываем нашу конструкцию с когомологической алгеброй Холла для колчана $A_1$. Библиография: 125 названий.

Tetrahedron equation: algebra, topology, and integrability

“…Во многом ансамбль сюжетов этой области обобщает сферу приложений и проявлений уравнения Янга-Бакстера, которое лежит в основе теории интегрируемых моделей статистической физики в размерности 2. Это уравнение играет исключительную роль в современной математике, является представлением группы кос [2], позволяет определить сплетенные категории [3], лежит в основе теории квантовых групп [4], т. е. деформаций алгебр функций на группах, служит алгебраической основой квантового метода обратной задачи [5] и поставщиком дискретных интегрируемых систем [6]- [9], связано с алгебраической геометрией благодаря аппарату вакуумных кривых, разработанному И. М. Кричевером в [10], дает существенный вклад в описание геометрии многообразия Грассмана [11]. Одним из удивительных результатов теории интегрируемых моделей статистической физики является связь двумерных моделей с теорией интегрируемых систем квантовой механики на одномерных решетках.…”