Гипергеометрические Функции Как Бесконечносолитонные Тау-Функции

Abstract

Как известно, резонансные многосолитонные решения зависят от высших времен и набора параметров (интегралов движения). Показано, что солитон-ные тау-функции уравнений одно-и многокомпонентной цепочек Тода являются тау-функциями дуальной иерархии уравнений, где высшие времена и парамет-ры (интегралы движения) меняются ролями. Многосолитонные решения ока-зываются рациональными решениями для дуальной иерархии, а бесконечносо-литонные тау-функции -тау-функциями гипергеометрического типа дуальной иерархии. Переменные в дуальных иерархиях меняются ролями. Импульсы солитонов связаны с координатами Фробениуса разбиений в разложении ра-циональных решений по функциям Шура. В качестве примера рассмотрены статсуммы матричных моделей: их ряд теории возмущений, с одной стороны, является гипергеометрической тау-функцией, с другой стороны, может быть интерпретирован как бесконечносолитонное решение.Ключевые слова: солитоны, рациональные решения, тау-функция, гипергеометриче-ская функция, дуальность. ВВЕДЕНИЕГипергеометрическая тау-функция (ГТФ) [1], [2] является обобщением гипергео-метрической функции матричного аргумента [3] и определена следующим рядом: Данная работа является продолжением и развитием статьи [14] в электронном архиве. Мы изучаем функцию (1.1) как функцию переменных T , полагая, что пере-менные t * определенным образом зафиксированы (принадлежат к одному из четы-рех семейств, указанных ниже). Показано, что ГТФ (1.1) является многосолитонной тау-функцией некоторой иерархии интегрируемых систем, которую можно назвать дуальной иерархией, и выбор дуальной иерархии определяется выбором t * . Пере-менные T оказываются высшими временами дуальной иерархии, в роли которой выступает p-компонентная двумеризованная ЦТ (более точно, линейными комби-нациями этих высших времен, обозначаемыхñДля краткости мы будем опускать несущественные аргументы в обозначении ГТФ и писать τ (t, T, t * ) и даже τ (t, T ) вместо τ (n, t, T, t * ). Напомним некоторые факты и введем обозначения.Теория солитонов. Иерархия КП [15], [16] является наиболее популярным при-мером интегрируемых уравнений. Она состоит из полубесконечного набора нели-нейных интегродифференциальных эволюционных уравнений Рассмотрим три примера тау-функций. 1. Вакуумная тау-функция ЦТ(1.6) есть простейший пример ГТФ: надо в (1.1) положить T = 0. Она также является вакуумной тау-функцией иерархии КП, ибо по формуле (1.5) порождает решение u = 0. 2. N -солитонная тау-функция иерархий КП и ЦТ требует задания набора па-раметров {p i , q i , a i }, i = 1, . . . , N , p i = q i ; каждая пара (p i , q i ) определяет скорость солитона с номером i; параметр a i задает начальное положение солитона i. Тау-функция N -солитонного решения иерархий КП и ЦТ есть описывает сдвиг фаз взаимодействующих солитонов с номерами i и j, равный ln ∆ ij , и гдеесть вакуумная тау-функция ЦТ. Для нас представляет интерес бесконечносолитон-ная тау-функция, отвечающая случаю N → ∞. С точки зрения уравнения КП (1.3) высшие времена t * есть просто фиксирован-ные параметры, определяющие начальное положение со...

Сшивка Ветвей Непертурбативного Конформного Блока На Его Дивизоре Сингулярностей

“…Более того, в рациональных конформных теориях ветвления имеют конечный порядок, таким образом, данные конформные блоки в действительности являются функциями Белого [33], которые появляются при рассмотрении "детских рисунков" Гротендика и равносторонних триангуляций. Разветвленные накрытия пространства CP 1 , описывающиеся функциями Белого, суть арифметические кривые, и их описание в терминах конформных моделей и рациональных размерностей представляет собой новую интересную проблему, связанную с описанием универсального пространства модулей [34], [35] и современной теорией чисел Гурвица [36] и τ -функций Гурвица [37], [38].…”