Доказательство Отсутствия Эллиптических Решений Кубического Комплексного Уравнения Гинзбурга - Ландау

Abstract

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТСУТСТВИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ КУБИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУРассмотрено кубическое комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау. С помо-щью метода Хона, основанного на использовании решений в виде формальных рядов Лорана и теореме вычетов, доказано отсутствие у этого уравнения эл-липтических решений в виде стоячих волн. Полученный результат дополняет результат Хона, доказавшего невозможность существования эллиптических ре-шений в виде бегущих волн. Показано, что более эффективно применять метод Хона к системе полиномиальных дифференциальных уравнений, нежели к эк-вивалентному ей дифференциальному уравнению.Ключевые слова: стоячая волна, эллиптическая функция, ряд Лорана, теорема вы-четов, кубическое комплексное уравнение Гинзбурга-Ландау. ВВЕДЕНИЕНелинейные динамические системы и уравнения эволюции, активно используе-мые в физике, часто оказываются неинтегрируемыми в том смысле, что, исполь-зуя известные методы, например интегрирование в квадратурах или метод обрат-ной задачи рассеивания, невозможно найти их общие решения. В то же время для физических приложений оказывается достаточным знание частных решений с за-данными свойствами, например периодических или с требуемыми асимптотиками. В настоящее время активно развиваются методы построения частных решений в виде элементарных (вырожденных эллиптических) и эллиптических функций [12]. Отметим, что и эллиптические, и вырожденные эллиптические функции обладают двумя свой-ствами, используемыми при поиске решений указанными методами. Во-первых, они * Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д. В. Скобельцына, Москов-ский государственный университет, Москва, Россия.