Замечания О Полиномиальных Интегралах Высших Степеней Обратимых Систем С Торическим Пространством Конфигураций

Abstract

Замечания о полиномиальных интегралах высших степеней обратимых систем с торическим пространством конфигураций Рассматриваются вопросы, связанные с известной гипотезой о степени неприводимых полиномиальных интегралов обратимой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы и торическим пространством положений. Основное внимание уделено исследованию особой системы, возникающей при анализе неприводимых полиномиальных интегралов четвертой степени. В частном случае имеем задачу о движении двух взаимодействующих частиц по окружности в заданных потенциальных силовых полях. Доказано, что если все три потенциала-гладкие непостоянные функции, то эта задача не допускает нетривиальных полиномиальных интегралов сколь угодно высокой степени. Упомянутая выше гипотеза полностью доказана для систем с полиномиальным по импульсам первым интегралом четвертой степени. Библиография: 8 наименований.

Рациональные Интегралы Натуральной Механической Системы На Двумерном Торе

“…А именно, в этом случае обязательно существует линейный или квадратичный первый интеграл, как в примерах, указанных выше. В [1,[3][4][5][6] это утверждение было доказано для интегралов степени ≤ 5. Отметим также работу [7], 256 С. В. Агапов в которой доказано, что если потенциал V (x, y) является тригонометрическим полиномом и гамильтонова система с гамильтонианом (1.1) интегрируема, то дополнительный интеграл высокой степени по импульсам сводится к интегралу первой или второй степени.…”

О Полиномиальных По Импульсам Интегралах Обратимой Гамильтоновой Системы Определенного Вида

“…IV] если множество Пуанкаре P 2 состоит из бесконечного числа различных прямых, то исходная гамильтонова система с гамильтонианом (1.1) вообще не допускает нетривиальных полиномиальных интегралов с гладкими периодическими коэффициентами. Структура множества Пуанкаре P 2 для гамильтониана (1.4) изучена в работе [8]. Представим 2π-периодические функции A, B, C, D в виде рядов Фурье:…”

“…Наоборот, если равенство (2.2) нарушается для бесконечного числа прямых (2.1), то гамильтонова система с гамильтонианом (1.4) не допускает нетривиальных полиномиальных интегралов никакой степени. Этим методом в [8] доказана неинтегрируемость гамильтоновой системы при условии, что формуле (1.4) имеем…”

“…, D -гладкие 2π-периодические функции одного переменного. В [8] доказано, что если система с гамильтонианом (1.4) допускает интеграл четвертой степени, то либо A = C = 0, либо B = D = 0 (т.е. сформулированная выше гипотеза справедлива и для интегралов четвертой степени).…”

“…. , D тождественно равна нулю, то отрицательный ответ (подтверждающий нашу гипотезу) установлен в работе [8]. Основной результат составляет следующая Теорема.…”