Инварианты Фоменко-Цишанга Невыпуклых Топологических Биллиардов

Abstract

Наряду с классическим плоским биллиардом можно рассмотреть топологический биллиард, движение при котором происходит на локально плоской поверхности, полученной изометричной склейкой нескольких плоских областей вдоль границ, являющихся дугами софокусных квадрик. Здесь точка движется внутри каждой из областей вдоль отрезков прямых, переходя из одной области в другую при попадании на границу склейки. Ранее автором была получена лиувиллева классификация всех таких топологических биллиардов, полученных склейками вдоль выпуклых границ. В настоящей работе классифицируются все топологические интегрируемые биллиарды, полученные склейкой как вдоль выпуклых, так и вдоль невыпуклых границ из элементарных биллиардов, ограниченных дугами софокусных квадрик. Для всех таких невыпуклых топологических биллиардов вычислены инварианты Фоменко-Цишанга (меченые молекулы $W^*$) лиувиллевой эквивалентности. Библиография: 25 названий.

The reduction of the degree of integrals of hamiltonian systems with the help of billiards

“…В том случае, если вдоль каждого ребра склейки склеены не более двух биллиардов-листов, то полученное многообразие называется топологическим биллиардом (см. подробнее [6]). Если же существуют рёбра склейки, вдоль которых склеено более чем два биллиарда, то полученному ребру необходимо приписать перестановку s ∈ S n , где n -число листов, склеенных вдоль такого ребра.…”

“…Полная классификация топологических биллиардов с точностью до лиувиллевой эквивалентности была сделана В.В. Ведюшкиной в работе [6]. В работе В.В.…”

“…Такие системы реализуются как динамика материальной точки на двумерных локально-евклидовых клеточных комплексах, рёбра которых являются дугами софокусных квадрик (более подробно см. [6]). Соответствующая гамильтонова система реализуется на четырёхмерном кусочно-гладком многообразии и на трёхмерных кусочно-гладких изоэнергетических поверхностях.…”