Биллиардные книжки моделируют грубые молекулы, состоящие из атомов без звездочек.Кроме того заметим, что с семейством софокусных квадрик естественно связаны эллиптические координаты (λ 1 , λ 2 ), где λ 1 ∈ (−∞, b), λ 2 ∈ (b, a) (см. рис. 1).Определение 2. Биллиардной книжкой ∆B(W, Σ, ρ) называется динамическая система, описывающая движение материальной точки в двумерном клеточном комплексе W = X 2 ∪ X 1 ∪ X 0 , таком что:является ограниченной областью из R 2 , границей которой являются дуги софокусных квадрик одного семейства с различными параметрами, пересекающихся под углом π 2 , направленным внутрь области; 2. к клеткам размерности 1 (корешкам книжки) e 1 ∈ X 1 приписаны циклические перестановки Σ(e 1 ), действующие на клетках размерности 2 (листах ) и описывающие переход материальной точки с одного листа на другой;3. Σ(e 1 ) переставляет только те листы, границами которых является корешок e 1 ;Материальная точка движется по прямой внутри листов и, отражаясь о границы листов по закону: угол падения равен углу отражения , переходит по перестановкам на другие листы. Траектории, которые касаются невыпуклых дуг, к которым приписаны нетождественные перестановки, неопределены.Замечание 2. Далее нам будет удобно ввести нумерацию на листах N : X 2 ←− N и рассматривать перестановки уже не на листах, а на их номерах. Поэтому обозначение биллиардной книжки расширим до ∆B(W, Σ, ρ, N ). Замечание 3. Отметим, что в определении биллиардной книжки в пункте 1 говорится, что разрешается брать только листы, у которых дуги имеют различные параметры. Из этого следует, что мы можем взять, например, лист, изображенный на рисунке 2, но не можем взять лист, изображенный на рисунке 3, так как у него есть две эллиптические дуги, отвечающие одной и той же квадрике -верхняя и нижняя. Однако, это ограничение не уменьшает класс биллиардов, которые мы будем рассматриивать, потому что вместо листа из рис. 3, мы можем взять два листа и склеить их (см. рис. 4). Это сделано для того, чтобы корректно ввести термин перестановки, отвечающей фиксированному параметру квадрики в пункте 4, и, чтобы по таким перестановкам, можно было однозначно восстановить перестановки на корешках.
