Billiard books model all three-dimensional bifurcations of integrable Hamiltonian systems

Singularities of integrable Liouville systems, reduction of integrals to lower degree and topological billiards: Recent results

“…In the case when along some edge more than two billiards are glued, this edge must be endowed by a permutation ∈ , where is the number of billiard sheets glued along this edge. This cell complex with such permutations on the edges is called the billiard book (see [10]). The motion of the material point on it is determined as follows: the trajectory, when it hits the edge of the billiard, moves from one elementary domain to another one, according to the assigned permutation on this edge.…”

Force Evolutionary Billiards and Billiard Equivalence of the Euler and Lagrange Cases

“…Such systems were then realized using several billiards (see [4][5][6]): for a regular energy zone of a system (for any of its Q 3 ) its own billiard with the same Fomenko-Zieschang invariant was constructed. For example, for geodesic flows of Riemannian metrics (e.g., on conics [7]) and for billiards introduced by Vedyushkina on CW complexes (billiard books [8] and topological billiards [9]), the particle's energy is only a scaling parameter. It turns out that these classes are important in applications.…”

Realization of focal singularities of integrable systems using billiard books with a Hooke potential field

“…Если дуги границы всех плоских столов принадлежат одному и тому же семейству квадрик с общими фокусами (возможно, вырожденному: семейству парабол или семейству окружностей и их радиусов), а перестановки на пересекающихся дугах границы коммутируют, то рассмотренные многослойные биллиарды остаются кусочно-гладко интегрируемыми по Лиувиллю. Фазовая топология таких систем, как оказалось, весьма разнообразна: В.В.Ведюшкиной, А.Т.Фоменко и их соавторами были реализованы многие топологические инварианты особенностей и слоений [3]- [6], возможных в гладких и вещественно-аналитических интегрируемых системах.…”

“…недавний обзор [11]) в работах В.В.Ведюшкиной, А.Т.Фоменко, И.С.Харчевой и В.А.Кибкало: реализованы все невырожденные особенности ранга 1 (см. [3]), числовые метки инварианта Фоменко-Цишанга (см. [4], [5]) и базы слоений Лиувилля (см.…”

“…В основе этих результатов лежит открытая В.В.Ведюшкиной [3] конструкция "биллиардной книжки", т.е. двумерного стола-комплекса, склеенного из плоских столов по общим гладким дугам границы.…”