Биллиардные Книжки Моделируют Все Трехмерные Бифуркации Интегрируемых Гамильтоновых Систем

Abstract

Биллиардные книжки моделируют грубые молекулы, состоящие из атомов без звездочек.Кроме того заметим, что с семейством софокусных квадрик естественно связаны эллиптические координаты (λ 1 , λ 2 ), где λ 1 ∈ (−∞, b), λ 2 ∈ (b, a) (см. рис. 1).Определение 2. Биллиардной книжкой ∆B(W, Σ, ρ) называется динамическая система, описывающая движение материальной точки в двумерном клеточном комплексе W = X 2 ∪ X 1 ∪ X 0 , таком что:является ограниченной областью из R 2 , границей которой являются дуги софокусных квадрик одного семейства с различными параметрами, пересекающихся под углом π 2 , направленным внутрь области; 2. к клеткам размерности 1 (корешкам книжки) e 1 ∈ X 1 приписаны циклические перестановки Σ(e 1 ), действующие на клетках размерности 2 (листах ) и описывающие переход материальной точки с одного листа на другой;3. Σ(e 1 ) переставляет только те листы, границами которых является корешок e 1 ;Материальная точка движется по прямой внутри листов и, отражаясь о границы листов по закону: угол падения равен углу отражения , переходит по перестановкам на другие листы. Траектории, которые касаются невыпуклых дуг, к которым приписаны нетождественные перестановки, неопределены.Замечание 2. Далее нам будет удобно ввести нумерацию на листах N : X 2 ←− N и рассматривать перестановки уже не на листах, а на их номерах. Поэтому обозначение биллиардной книжки расширим до ∆B(W, Σ, ρ, N ). Замечание 3. Отметим, что в определении биллиардной книжки в пункте 1 говорится, что разрешается брать только листы, у которых дуги имеют различные параметры. Из этого следует, что мы можем взять, например, лист, изображенный на рисунке 2, но не можем взять лист, изображенный на рисунке 3, так как у него есть две эллиптические дуги, отвечающие одной и той же квадрике -верхняя и нижняя. Однако, это ограничение не уменьшает класс биллиардов, которые мы будем рассматриивать, потому что вместо листа из рис. 3, мы можем взять два листа и склеить их (см. рис. 4). Это сделано для того, чтобы корректно ввести термин перестановки, отвечающей фиксированному параметру квадрики в пункте 4, и, чтобы по таким перестановкам, можно было однозначно восстановить перестановки на корешках.

Realization of Integrable Hamiltonian Systems by Billiard Books

“…С точностью до полулокальной эквивалентности (послойной гомеоморфности) они были недавно классифицированы И. К. Козловым и А. А. Ошемковым [38]. [7] разделе A гипотезы Фоменко утверждается реализация произвольного 3-атома. Напомним, что так называют произвольную трехмерную боттовскую особенность ранга 1.…”

“…Для реализации 3-атомов В. В. Ведюшкиной был введен [7] класс биллиардных книжек биллиардных систем на клеточных комплексах, ребрам которого (1-клеткам) приписаны перестановки на склеиваемых столах (2-клетках). Подробности определения напомним ниже.…”

“…Другим известным подходом является топологическое описание 3-атомов в терминах лент и крестов в их базе или дубле (для атомов со звездочками). В разделе 2.1 мы даем представление результата работы [7] в существенно более наглядных терминах f -графов, иллюстрируя его на примере 3-атома B * .…”

“…таких столов, и динамических систем на них была введена В. В. Ведюшкиной в [7], а сама идея склейки более узкого класса топологических биллиардов в работе [8]). При этом, фазовое пространство и неособый трехмерный уровень постоянной энергии (называемый изоэнергетической поверхностью Q 3 ) биллиардных книжек остаются кусочно-гладкими многообразиями, как и в случае плоских софокусных биллиардов (см.…”

“…[15]) слоений Лиувилля достаточно широкого класса интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (далее ИГС) [16]- [22], а также их особенностей (см. [7] и [23]). Вычислению инвариантов систем динамики и физики посвящены, например, работы [24]- [31].…”