Минимальное Кольцо Громова - Виттена

Abstract

Построена абстрактная теория инвариантов Громова-Виттена рода нуль для квантово минимальных многообразий Фано -минимального есте-ственного (с точки зрения теории квантовых когомологий) класса много-образий. А именно, рассмотрено минимальное кольцо Громова-Виттена, порожденное образующими и соотношениями, восходящими к теории Гро-мова-Виттена для многообразий Фано (неопределенной размерности). Те-ория Громова-Виттена для любого квантово минимального многообразия есть гомоморфизм этого кольца в C. Доказана абстрактная теорема вос-становления, утверждающая, что это кольцо изоморфно свободному ком-мутативному кольцу, порожденному "двухточечными примарными инва-риантами". Найдены решения дифференциального уравнения типа DN для многообразия Фано размерности N в терминах производящего ряда одноточечных инвариантов Громова-Виттена.Библиография: 11 наименований. § 1. Введение, тавтологически замкнуто относительно умноже-ния в кольце когомологий. Теория Громова-Виттена (а точнее, набор трех-точечных инвариантов Громова-Виттена рода нуль) позволяет "деформиро-вать" кольцо когомологий, т. е. определить в градуированном пространствене обязательно замкнуто относительно квантового умножения. Если оно замкнуто, то такое многообразие называется квантово минималь-ным. Примерами квантово минимальных многообразий являются трехмерные многообразия Фано с группой Пикара Z или полные пересечения в проектив-ных пространствах.Пусть V квантово минимально. Тогда в его квантовом D-модуле имеет-ся естественный подмодуль, соответствующий подкольцу QH * H (V ). Связность в этом D-модуле задается матрицей квантового умножения на антиканони-ческий класс (иными словами, двухточечными примарными инвариантами Громова-Виттена рода нуль). Регуляризовав его, мы получим детерминанталь-ный оператор, или оператор типа DN для V (такие операторы подробно изу-чены в [1]). Одна из гипотез зеркальной симметрии утверждает, что этот опе-ратор совпадает с оператором Пикара-Фукса для модели Ландау-Гинзбурга, Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 08-01-00395, 06-01-72017-МНТИ), а также Программы Президента РФ "Поддержка ведущих научных школ" (грант