О Единственности Продолжения Одной Функции До Положительно Определенной

Abstract

В 1940 г. М. Г. Крейном были найдены необходимые и достаточные условия продолжения непрерывной функции $f$, определенной в интервале $(-a,a)$, $a>0$, до положительно определенной на всей числовой оси $\mathbb R$. Кроме того, Крейн показал, что функцию $1-|x|$, $|x|<a$, можно продолжить до положительно определенной на $\mathbb R$ тогда и только тогда, когда $0<a\le 2$, и она имеет единственное продолжение лишь в случае $a=2$. В данной работе мы рассматриваем задачу о единственности продолжения функции $1-|x|$, $|x|\le a$, $a\in(0,1)$, в классе положительно определенных функций на $\mathbb R$, носитель которых содержится в отрезке $[-1,1]$ (класс $\mathfrak F$). В статье доказано, что если $a\in[1/2,1]$ и $\operatorname{Re}\varphi(x)=1-|x|$, $|x|\le a$, для некоторой $\varphi\in\mathfrak F$, то $\varphi(x)=(1-|x|)_+$, $x\in\mathbb R$. Кроме того, для любого $a\in(0,1/2)$ найдется такая функция $\varphi\in\mathfrak F$, что $\varphi(x)=1-|x|$, $|x|\le a$, но $\varphi(x)\not\equiv(1-|x|)_+$. Также в работе рассмотрены экстремальные задачи для положительно определенных функций и неотрицательных тригонометрических многочленов, косвенно связанные с рассматриваемой задачей о продолжении. Библиография: 23 названия.