Для заданных $\alpha\in(0,1)$ и $c=h+i\beta$, $h,\beta\in\mathbb R$, функция $f_{\alpha,c}\colon\mathbb R\to\mathbb C$ определяется следующим образом: 1) $f_{\alpha,c}$ является эрмитовой, т.е. $f_{\alpha,c}(-x)=\overline{f_{\alpha,c}(x)}$, $x\in\mathbb R$; 2) $f_{\alpha,c}(x)=0$ при $x>1$, а на каждом отрезке $[0,\alpha]$ и $[\alpha,1]$ функция $f_{\alpha,c}$ является линейной и $f_{\alpha,c}(0)=1$, $f_{\alpha,c}(\alpha)=c$, $f_{\alpha,c}(1)=0$. В статье доказано, что комплексная кусочно-линейная функция $f_{\alpha,c}$ является положительно определенной на $\mathbb R$ тогда и только тогда, когда $$ m(\alpha)\le h\le 1-\alpha\quad и\quad |\beta|\le\gamma(\alpha,h), $$ где $$ m(\alpha)= \begin{cases} 0, &amp;если 1/\alpha\notin\mathbb N, -\alpha, &amp;если 1/\alpha\in\mathbb N. \end{cases} $$ Если $m(\alpha)<h<1-\alpha$ и $\alpha\in\mathbb Q$, то $\gamma(\alpha,h)>0$; в остальных случаях $\gamma(\alpha,h)=0$. С помощью этого результата получен критерий вполне монотонности функций специального вида и доказано точное неравенство для тригонометрических многочленов. Библиография: 25 названий.

В 1940 г. М. Г. Крейном были найдены необходимые и достаточные условия продолжения непрерывной функции $f$, определенной в интервале $(-a,a)$, $a>0$, до положительно определенной на всей числовой оси $\mathbb R$. Кроме того, Крейн показал, что функцию $1-|x|$, $|x|<a$, можно продолжить до положительно определенной на $\mathbb R$ тогда и только тогда, когда $0<a\le 2$, и она имеет единственное продолжение лишь в случае $a=2$. В данной работе мы рассматриваем задачу о единственности продолжения функции $1-|x|$, $|x|\le a$, $a\in(0,1)$, в классе положительно определенных функций на $\mathbb R$, носитель которых содержится в отрезке $[-1,1]$ (класс $\mathfrak F$). В статье доказано, что если $a\in[1/2,1]$ и $\operatorname{Re}\varphi(x)=1-|x|$, $|x|\le a$, для некоторой $\varphi\in\mathfrak F$, то $\varphi(x)=(1-|x|)_+$, $x\in\mathbb R$. Кроме того, для любого $a\in(0,1/2)$ найдется такая функция $\varphi\in\mathfrak F$, что $\varphi(x)=1-|x|$, $|x|\le a$, но $\varphi(x)\not\equiv(1-|x|)_+$. Также в работе рассмотрены экстремальные задачи для положительно определенных функций и неотрицательных тригонометрических многочленов, косвенно связанные с рассматриваемой задачей о продолжении. Библиография: 23 названия.

Для достаточно широкого класса функций $f\colon[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ доказано, что функция $f(\rho^{\lambda}(x))$ является положительно определенной на нетривиальном вещественном линейном пространстве $E$ тогда и только тогда, когда $0\leqslant\lambda\leqslant\alpha(E,\rho)$. Здесь $\rho$ - неотрицательная, однородная функция на $E$ и $\rho(x)\not\equiv 0$, а $\alpha(E,\rho)$ - константа Шeнберга. Библиография: 42 названия.