О хроматическом числе пространства $(\mathbb R^n, l_1)$

Abstract

Изучается хроматическое число пространства $(\mathbb R^n)$ с введенной в нем метрикой $l_1$: $\| x\|=\sum_{i=1}^n{|x_i|}$ при запрете $k$ расстояний. Рассматривается минимальное количество цветов, в которые можно окрасить все точки пространства таким образом, чтобы никакие две точки, находящиеся в метрике $l_1$ на одном из запрещенных расстояний друг от друга, не оказались окрашенными в один цвет. Получены оценки на показатели асимптотического роста хроматических чисел при $n\to\infty$. Был использован линейно-алгебраический метод, сводящий оценку хроматических чисел к некоторой выпуклой экстремальной задаче. Численное решение данной задачи позволило получить точные оценки на константы, стоящие в основании асимптотических нижних оценок хроматических чисел многомерных вещественных пространств с несколькими запрещенными расстояниями. Данные оценки оптимальны в рамках предлагаемого метода. Библиография: 27 названий.