Об Асимптотике Решений Двучленных Дифференциальных Уравнений С Сингулярными Коэффициентами

Abstract

В работе получены асимптотические формулы при $x\to \infty$ для фундаментальной системы решений уравнения вида \begin{equation*} l(y): = (-1)^n(p(x)y^{(n)})^{(n)}+q(x)y=\lambda y, \qquad x\in [1,\infty), \end{equation*} где локально суммируемая функция $p$ допускает представление $$ p(x) = (1+r(x))^{-1},\qquad r\in L^1(1,\infty), $$ а $q$ - обобщенная функция, представимая при некотором фиксированном $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, в виде $q= \sigma^{(k)}$, где $$ \begin{aligned} \sigma &\in L^1(1,\infty), \qquad если\quad k <n, |\sigma|(1+|r|) (1+ |\sigma|) &\in L^1(1,\infty), \qquad если\quad k = n. \end{aligned} $$ Аналогичные результаты получены для функций, допускающих при некотором фиксированном $k$, $0\leqslant k\leqslant n$, представление $$ p(x) = x^{2n+\nu}(1+ r(x))^{-1},\qquad q= \sigma^{(k)},\qquad \sigma(x)=x^{k+\nu} (\beta +s(x)), $$ где функции $r$ и $s$ удовлетворяют некоторым условиям интегрального убывания. Получены также теоремы об индексах дефекта минимального симметрического оператора, порожденного дифференциальным выражением $l(y)$ (при условии вещественности функций $p$ и $q$), и теоремы о спектрах соответствующих самосопряженных расширений. Полные доказательства даны только для случая $n=1$. Библиография: 18 названий.

Об Одной Граничной Задаче С Разрывными Решениями И Сильной Нелинейностью

“…Можно выделить публикации А. А. Шкаликова, А. М. Савчука, Б. С. Митягина, В. А. Михайлеца (см. [5][6][7][8]15,16]) и др., в которых методами теории обобщенных Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 19-11-00197).…”