Обобщенная Ядерная Оценка Плотности

Abstract

Предлагается новый класс оценок плотности неизвестного вероятностного распределения. Наша оценка является обобщением как классической ядерной оценки плотности, так и популярной опенки Абрамсона. Найдена асимптотика среднеквадратичной функции потерь данной оценки, оптимальные (в опреде ленном смысле) ядро и параметр сглаживания. Ключевые слова и фразы: ядерная оценка плотности, квадратичная функ ция потерь, оптимальное ядро, оптимальный параметр сглаживания. ' 1=1 Обозначим и = Е/ 7 (7). Из (1.1*) и тождеств E/ f (n) = Е/"(£), Е/|(п) = Е/е(£)/>?(£) выводим: Е/"(х)-/(*) = 0{h% D/"(z) ~ ^f i (1.2) nh, при h-> 0, если функция / имеет ограниченную вторую производную и св. 7 огра ничена. Из (1.2) следует, что MSE [/"(х)] = Е(/"(х)-f(x)) 2 = O x (h* + (nh)-1). (1.3) Следовательно, среднеквадратичная погрешность (MSE) оценки (1.1) не может быть лучше, чем 0(га-4^5). Более высокая точность аппроксимации может быть достигнута, если в качестве /-у взять плотность обобщенного распределения (единичной меры). А именно, если функция / 7 такова, что

О Моде Неизвестного Вероятностного Распределения

“…Подробнее об УНОП см. в [7], [15], [12]. Отметим, что в [5] рассматривалась задача минимизации функционала R^(j) в классе ® 4 обобщенных распределений, удовлетворяющих условию m, = f x l f y (x) dx = О при 1 < % < 3, тп 4 ф 0.…”