Полиномиальные Интегралы Обратимых Механических Систем С Конфигурационным Пространством В Виде Двумерного Тора

Рациональные Интегралы Натуральной Механической Системы На Двумерном Торе

“…где V вещественная аналитическая периодическая функция на плоскости R 2 с некоторой решеткой периодов ⊂ R 2 . Известны следующие случаи наличия дополнительного первого интеграла (см., например, [1]).…”

“…А именно, в этом случае обязательно существует линейный или квадратичный первый интеграл, как в примерах, указанных выше. В [1,[3][4][5][6] это утверждение было доказано для интегралов степени ≤ 5. Отметим также работу [7], 256 С. В. Агапов в которой доказано, что если потенциал V (x, y) является тригонометрическим полиномом и гамильтонова система с гамильтонианом (1.1) интегрируема, то дополнительный интеграл высокой степени по импульсам сводится к интегралу первой или второй степени.…”

О Полиномиальных По Импульсам Интегралах Обратимой Гамильтоновой Системы Определенного Вида

“…Вообще если есть неприводимый полиномиальный интеграл степени n, то спектр ряда (1.3) лежит не более чем на n прямых, проходящих через начало координат (см. [7]). В [5] доказано, что если имеется интеграл третьей степени, то спектр ряда (1.3) лежит на трех прямых, образующих между собой углы π/3.…”

“…Вообще если имеется полиномиальный интеграл n-й степени и спектр ряда (1.3) лежит ровно на n прямых, проходящих через начало координат, то углы между этими прямыми кратны π/n (см. [7]). В заметке [5] при анализе интегралов четвертой степени пропущен именно этот случай.…”

О Полиномиальных Интегралах Механической Системы На Двумерном Торе

“…М. Л. Бялый [1] показал, что если потенциал V периодичен по x и y и существует интеграл третьей степени по импульсам, то существует интеграл первой степени по импульсам. Н. В. Денисова и В. В. Козлов [2] обоб-щили этот результат на произвольную решетку периодов Λ ⊂ R 2 функции V . В [1] анонсирована теорема об интегралах четвертой степени.…”