Поправка К Статье О Распределении По Размерам Дисперсных Частиц Фрактальной Формы [1]

Abstract

Внесена поправка к определению средних величин в формуле (4), состоящая в добавлении интегрирования по массе (стехиометрическому числу), опущенного в публикации. Уточнение восстанавливает корректность вычисления средних значений фрактальной размерности и массы (стехиометрического числа) и диаметров дисперсных частиц. Добавлен комментарий о численном интегрировании при вычислении частичной и полной статистической суммы. В работе [1] описано равновесное распределение дисперсных частиц по массе (стехиометрическому числу ν) и форме (фрактальной размерности D), полученное перемножением независимых распределений Гиббса по энергии частиц и функции разбиений f_p(ν,N), включенной в формулу в виде энтропийного вклада f_D(ν,D,N) ~ expgl( -(U(ν,D)+RTln f_p(ν,N))/(RT) gr). Здесь N --- число мономеров (атомов, молекул и т. п.), образующих дисперсную систему, U(ν,D) --- энергия образования частиц в пересчёте на моль вещества, R,T --- универсальная газовая постоянная и температура. Функция распределения позволяет вычислить средние значения фрактальной размерности < D> и стехиометрического числа частиц <ν> в виде < D> = (_iD_i f_D(D_i,ν,N)dν)/(Ω(N)), < ν> = (_i ν f_D(D_i,ν,N)dν)/(Ω(N)). (4) Здесь величина Ω(N)=i f_D(D_i,ν,N)dν (либо Ω(N)= f_d(D,ν,N)dν dD) является статистической суммой. В статье [1] в выражении (4) было пропущено интегрирование по ν, что исказило смысл уравнения. Аналогичные изменения необходимо внести в выражения для средних значений других величин: эффективного линейного размера частиц (длина ребра куба равного объема) < d>=Ω-1d_1_iν1/3 f_D(D_i,ν)dν, среднего диаметра фрактальной частицы < d^*>=Ω-1d_1_iν1/D f_D(D_i,ν)dν, где d1 --- линейный размер атома. *Комментарий по вычислениям интегралов и сумм, использованных при вычисленииe средних значений Численное вычисление интегралов x(D_i,ν)f_D(D_i,ν)dν, когда верхний предел равен или сопоставим с числом Авогадро (6.022·1023), осложняется тем, что вклад крупных частиц с N0.6Aν≤ν≤ NAν практически равен нулю. В стандартной записи эти интегралы дают неверный результат как в Mathcad, так и в Wolfram Mathematica. -1 В случае Wolfram Mathematica проблема решается выбором метода интегрирования (Method -> \"DoubleExponential", "SymbolicProcessing" -> 0\). Mathcad позволяет выбрать метод интегрирования, приемлемым оказался вариант разбиения области интегрирования на интервалы, привязанные к максимуму функции f_D(ν,D,N). Wolfram Mathematica позволяет заменить сумму _i x(D_i,ν)f_D(D_i,ν,N)dν на двойной интеграл x(D,ν)f_D(D,ν,N)dν dD. В этом случае результат дает последовательное интегрирование сначала по ν X(D,N) = x(D,ν)f_D(D,ν,N)dν (1≤ ν≤ N), затем по D X(N)= X(D,N)dD. В общем случае статистическая сумма Ω(N) и средние значения X(N) зависят от массы системы (числа мономеров, образующих дисперсную систему N).